球の自然対流
理論：浮力で生まれる流れと球
概要
風がないところで熱い球が冷えるとき、熱伝達率はどれくらいになるんですか？
球のまわりの空気が温められて軽くなり、上へ流れる。この自分で作る流れが自然対流だ。流れは弱いので、熱伝達率は空気で数〜20 W/m²K程度と小さい。そのぶん、同じくらいの大きさの放射の影響が相対的に大きくなる。Churchillの式で自然対流の熱伝達率を求め、放射と比べながら、熱い鋼球の放冷と、お湯の入った大きな球形タンクの熱損失を計算してみよう。
Churchillの式
物性は膜温度（表面と周囲の平均）で評価し、気体の体膨張率 β は膜温度の逆数とする。
放射の熱伝達率
放射率0.8、300℃の表面と20℃の周囲では約16 W/m²Kになり、自然対流と同じくらいの大きさになる。
相関式をつなぐ工夫
Churchillの式を作ったアメリカのチャーチルは、1970年代に、低い値と高い値でそれぞれ成り立つ式を、なめらかにつなぐ方法を体系化した。自然対流の式に多い『2 + …』や『[1 + (…)^n]^m』という形は、その考え方から来ている。球の自然対流では、レイリー数が0の極限のNu = 2と、大きい極限の Ra^(1/4) に比例する式をつないでいる。この方法は、流体や熱の多くの相関式で今も使われている。
計算例
例1：レイリー数とヌセルト数（Pr 0.71）
| レイリー数 | ヌセルト数 |
|---|---|
| 1 | 2.45 |
| 10² | 3.44 |
| 10⁴ | 6.54 |
| 10⁶ | 16.4 |
| 10⁸ | 47.5 |
| 10¹⁰ | 146 |
例2：直径10 mmの鋼球の放冷（300℃→50℃、周囲20℃）
| 冷却の方法 | 300℃での熱伝達率 | 50℃までの時間 |
|---|---|---|
| 自然対流のみ | 20.8 W/m²K | 818 秒 |
| 自然対流＋放射（ε 0.8） | 20.8 + 16.3 W/m²K | 561 秒 |
| 送風 5 m/s（放射なし） | 86.8 W/m²K | 158 秒 |
300℃での鋼球のレイリー数は約4,700。温度が下がるにつれて熱伝達率も小さくなるので、時間を追って計算した。
例3：直径1 mの球形タンク（60℃、周囲20℃）
| 項目 | 値 |
|---|---|
| レイリー数 | 3.0×10⁹ |
| 自然対流の熱伝達率 | 2.95 W/m²K |
| 対流による熱損失 | 371 W |
| 放射による熱損失（ε 0.9） | 791 W |
| 合計（1日あたり） | 1,161 W（27.9 kWh） |
タンクの熱損失は、自然対流より放射の方が2倍も大きいんですね。
球が大きくなると、ヌセルト数は増えても直径で割るので、熱伝達率はかえって小さくなる。直径1 mでは約3 W/m²Kしかない。一方、放射の熱伝達率は温度だけで決まり、60℃でも放射率0.9なら6 W/m²K程度ある。だから大きな容器や建物の外面では、自然対流より放射の方が大きいことが多い。保温材の外側をアルミ箔のような放射率の低い材料で覆うと熱損失が大きく減るのはこのためだ。逆に小さな鋼球では自然対流の方が大きいが、それでも放射を入れると冷却時間は3割短くなる。
計算のポイント
- 物性は膜温度で評価し、温度が変わる放冷では時間を追って更新する。
- 自然対流では放射をほぼ必ず一緒に考える。
- 近くに壁や他の物体があると流れが妨げられ、式が合わなくなる。
- わずかな風があるなら、混合対流として強制対流と比べる。
- CFDで解くときは浮力を入れ、周囲の空間を十分広くとる。
「保温したのに冷める貯湯タンク」
ある工場で、保温材を巻いた貯湯タンクの熱損失が予想より大きかった。計算では保温材の外面の自然対流だけを見て、熱損失は小さいと見積もっていた。ところが外面は黒い塗装で放射率が高く、放射で逃げる熱が対流の2倍近くあった。外面をアルミの外装で覆い放射率を下げると、熱損失は大きく減った。自然対流の熱伝達率が小さいほど、放射が主役になることを忘れてはいけない。
よくある間違い
間違いと対策
| 間違い | 起きること | 対策 |
|---|---|---|
| 放射を無視 | 熱損失を半分以下に | 放射を加える |
| 物性を固定 | 放冷時間を誤る | 膜温度で更新 |
| 代表長さを半径に | Raが1/8に | 直径を使う |
| 周囲の障害物を無視 | 熱伝達を過大評価 | 配置を確認 |
| 微風を無視 | 冷却を過小評価 | 混合対流で確認 |
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自然対流ツールで試せるよ。関連するページは球周りの強制対流、円柱の自然対流、垂直平板の自然対流、グラスホフ数とレイリー数が参考になる。
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