MEMS 静电执行器分析
理论：静电力与弹簧力的平衡
概述
我想用电压让MEMS微镜倾斜，但电压一超过某个值就突然吸住回不来了。是坏了吗？
多半是“吸合”。两块电极加电压后相互吸引，可动侧在弹簧支撑下靠近。但静电力随间隙变窄按平方增强，弹簧力却只与位移成正比增加。靠近到间隙的1/3时，弹簧再也支撑不住静电力，一下子就吸上了。电极接触后还可能因表面力粘住不回来。设计时必须决定是避开吸合，还是有意利用它。
力的平衡
$k$ 为弹簧刚度，$x$ 为位移，$\varepsilon_0$ 为真空介电常数，$A$ 为电极面积，$g_0$ 为初始间隙，$V$ 为电压。右边的静电力随间隙变小急剧增大。
吸合电压
平衡方程式有解的最大电压就是吸合电压，此时位移为间隙的1/3。吸合电压与间隙的1.5次方和弹簧刚度的平方根成正比。
梳齿驱动
$n$ 为梳齿数，$t$ 为厚度，$g$ 为齿间间隙。沿梳齿啮合方向移动时，力几乎与位移无关，不易出现平行板那样的失稳。
始于20世纪60年代的谐振栅晶体管
静电驱动微机械的先驱，是纳桑森等人于1967年发表的谐振栅晶体管，当时就已分析了吸合现象。20世纪80年代用硅微加工制作机械结构的技术取得进展，梳齿驱动由Tang等人于1989年展示。如今智能手机的加速度计和陀螺仪、投影仪的微镜、射频开关等众多身边产品中都有静电驱动MEMS。
算例
例1：弹簧刚度与吸合电压
电极100 μm见方，初始间隙2 μm：
| 弹簧刚度 | 吸合电压 |
|---|---|
| 1 N/m | 5.17 V |
| 5 N/m | 11.57 V |
| 10 N/m | 16.36 V |
例2：电压与位移关系（刚度5 N/m）
| 电压（吸合比） | 位移 | 占间隙比例 |
|---|---|---|
| 2.89 V (25%) | 0.019 μm | 1% |
| 5.78 V (50%) | 0.080 μm | 4% |
| 8.68 V (75%) | 0.207 μm | 10% |
| 10.41 V (90%) | 0.355 μm | 18% |
| 11.45 V (99%) | 0.561 μm | 28% |
即使在吸合之前，也只能移动间隙的三成左右。
对，理论上间隙的1/3是极限，实际上考虑离散和振动要在更早处使用。电压小时位移与电压平方成正比缓慢增加，接近吸合时电压稍变就急剧移动，控制也变难。要大幅移动，惯用做法是加大间隙（但吸合电压按1.5次方升高），或改用梳齿驱动这类不易失稳的结构。
例3：间隙离散
| 间隙误差 | 吸合电压 | 变化 |
|---|---|---|
| −10% | 9.88 V | −14.6% |
| ±0 | 11.57 V | — |
| +10% | 13.35 V | +15.4% |
间隙误差10%，吸合电压偏差约15%。牺牲层刻蚀和残余应力引起的翘曲使间隙因器件而异，所以驱动电压要留足余量，或在制造后校准电压。
例4：梳齿驱动力
| 电压 | 力（100根梳齿、厚20 μm、间隙2 μm） | 1 N/m时位移 |
|---|---|---|
| 10 V | 0.89 μN | 0.89 μm |
| 30 V | 7.97 μN | 7.97 μm |
| 60 V | 31.9 μN | 31.9 μm |
梳齿力与电压平方成正比且与位移无关，所以能移动几十μm，远超间隙。但横向力平衡被破坏时梳齿会侧向吸合（横向吸合），所以横向弹簧要做得很硬。
分析方法
- 电场与结构耦合：结构变形改变电场，力也随之变化。要在变形后形状上重新求解电场反复迭代，或整体求解。
- 跟踪吸合：普通的逐步加电压分析在吸合前会不收敛。改用指定位移求电压的方法（位移控制）来追踪曲线的不稳定分支。
- 边缘电场：从电极边缘绕出的电场（边缘场）使力大于平行板公式值，间隙相对电极尺寸越大影响越大。
- 空气阻尼：窄间隙中空气被挤出时的阻力（挤压膜阻尼）对动态响应影响很大。
“测得的吸合电压总比计算低”
样机MEMS的吸合电压常比平行板公式值低一到两成。原因之一是边缘电场，实际力比公式大；另一个是残余应力引起的翘曲，有些地方间隙比设计值窄；绝缘膜中积累的电荷也可能叠加进来。可靠的分析是计入含边缘场的三维电场和残余应力造成的初始变形，并与测量对照校准。
常见错误
错误与对策
| 错误 | 后果 | 对策 |
|---|---|---|
| 目标行程超过间隙1/3 | 吸合粘住 | 加大间隙或用梳齿 |
| 只做电压控制分析 | 吸合附近不收敛 | 用位移控制跟踪 |
| 忽略边缘场 | 高估吸合电压 | 三维电场 |
| 不看间隙公差 | 电压因器件而异 | 留余量或校准 |
| 不看横向稳定（梳齿） | 横向吸合 | 加硬横向弹簧 |
我想自己试试静电力和能量的计算。
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