压电分析
理论：力与电相互关联的材料
概述
压电元件分析与普通结构分析有何不同？
压电材料中应变与电场、应力与电位移相互关联，加电压会伸长，按压会产生电荷。所以必须把结构变形和电状态一起求解。关键是电边界条件，电极短路还是开路，同一元件的刚度也不同。开路时变形产生的电荷形成电场，该电场阻碍变形，元件变硬。执行器的实际位移由负载刚度决定，传感器的输出由电路电容决定。先用一维公式把握量级。
压电本构方程
S为应变，T为应力，E为电场，D为电位移。s^E为电场恒定（短路）时的弹性柔度，d为压电常数，ε^T为应力恒定（自由）时的介电常数。
执行器与传感器公式
PZT-5H数值：d33 = 593 pC/N，s33^E = 20.7×10⁻¹² m²/N（杨氏模量48 GPa），相对介电常数ε33^T/ε₀ = 3,400，机电耦合系数k33 = 0.75。
居里兄弟的发现
压电效应于1880年由皮埃尔和雅克·居里兄弟在石英等晶体中发现。第二年反过来加电压会变形的逆压电效应在理论上被预言并很快得到证实。第一次世界大战期间朗之万用石英制成水下声波收发器，成为声呐的开端。1950年代发现锆钛酸铅（PZT）陶瓷，获得了大的压电常数，推广到点火器、蜂鸣器、超声诊断、喷墨打印等领域。
算例
例1：叠堆执行器（0.1 mm×100层、5 mm见方、150 V）
| 项目 | 值 |
|---|---|
| 长度 | 10 mm |
| 电场 | 1.5 kV/mm |
| 自由位移 | 8.89 μm |
| 刚度 | 1.21×10⁸ N/m |
| 阻挡力 | 1,074 N |
| 电容 | 0.75 μF |
| 1 kHz、150 V正弦驱动峰值电流 | 0.71 A |
| 负载刚度（相对执行器） | 实际位移 |
|---|---|
| 0.1 | 8.09 μm |
| 1 | 4.45 μm |
| 10 | 0.81 μm |
例2：传感器与电边界条件
| 项目 | 值 |
|---|---|
| 电压常数 g33 | 19.7×10⁻³ V·m/N |
| 厚1 mm、1 MPa开路电压 | 19.7 V |
| 厚1 mm、10 kPa开路电压 | 0.20 V |
| 开路与短路柔度比（1 − k33²） | 0.438（开路刚度为2.3倍） |
只是电极开路就硬了2倍多，分析中很容易弄错吧。
没错，这是常见错误。像PZT-5H这样耦合系数k33达0.75的材料，电状态会大大改变力学性质。短路时电荷逸出，表现为材料本来的柔度；开路时电荷积累，电场阻碍变形。因此谐振频率也变化，由短路时的谐振（谐振频率）与开路时的谐振（反谐振频率）之差可以测出耦合系数。分析中需要按实际用法决定电极是固定电压、浮动导体还是接入电路。分析传感器时若把电极接地计算，电压为0，刚度也被低估。
分析流程
- 按各向异性方向（极化方向）输入材料常数（s^E、d、ε^T或其变换形式）。
- 把电极定义为等电位面，分别使用固定电压、浮动或接入电路。
- 用一维公式确认位移、力、电压的量级。
- 用模态分析求谐振和反谐振频率，确认耦合系数。
- 大电场下有非线性和滞后，要确认使用范围。
“定位台只动了一半”
某精密定位台中，给压电叠堆执行器加额定电压，平台位移只有产品目录自由位移的一半左右。查看执行器规格，自由位移是无负载状态的值。计算支撑平台的板簧和平台结构的刚度，与执行器几乎一样硬，位移本来就应该正好减半。改用较软的弹簧和更长的执行器，确保了所需位移。
常见错误
错误与对策
| 错误 | 后果 | 对策 |
|---|---|---|
| 直接用自由位移 | 高估位移 | 计入负载刚度 |
| 电极保持接地 | 传感器电压为0 | 浮动导体、电路 |
| 极化方向错误 | 符号或大小出错 | 确认坐标系 |
| 混淆短路与开路常数 | 刚度、谐振出错 | 区分E恒定和D恒定 |
| 不估算驱动电流 | 电源不足 | 由电容算电流 |
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