多尺度耦合分析
理论：由细观结构求等效性质
概述
分析复合材料零件时，要一根一根地对纤维建模吗？
那不现实。碳纤维直径约7 μm，即使厚2 mm的板在厚度方向也排列200多根。把整个零件按纤维划分网格单元数会极其庞大。所以考虑把纤维和树脂平均化的等效材料（均匀各向异性材料），由细观结构求其材料常数。有用简单公式估算的方法，也有用有限元求解表示纤维和树脂的小代表体积（RVE）的方法。在零件分析与RVE之间往返求解就是多尺度耦合，按所需精度选择方法。
均匀化的简单公式
V_f、V_m为纤维和树脂体积分数，E_f1为纤维轴向、E_f2为纤维垂直方向杨氏模量，E_m为树脂杨氏模量。Halpin-Tsai公式中ξ对圆截面纤维横向刚度取2。数值：碳纤维E_f1 = 230 GPa，E_f2 = 15 GPa，环氧树脂E_m = 3.5 GPa。
Voigt与Reuss上下限
关于混合材料的平均刚度，1889年Voigt给出了假设各组分应变相等的平均，1929年Reuss给出了假设应力相等的平均。后来Hill证明真实值在两者之间，它们成为上下限。1960年代Hashin和Shtrikman推导出更窄的上下限，Halpin和Tsai给出了与实验吻合、易用的公式。现在以RVE数值分析为主，但这些公式仍用作检验结果合理性的参考。
算例
例1：单向CFRP等效杨氏模量
| 纤维体积分数 | 纤维方向 E1 | 垂直 E2（串联） | 垂直 E2（Halpin-Tsai） | 垂直 E2（并联、上限） |
|---|---|---|---|---|
| 40% | 94.1 GPa | 5.05 GPa | 6.28 GPa | 8.1 GPa |
| 60% | 139.4 GPa | 6.48 GPa | 8.30 GPa | 10.4 GPa |
例2：错误假设纤维各向同性时（纤维60%）
| 纤维垂直方向刚度 | E2（串联） | E2（Halpin-Tsai） |
|---|---|---|
| 15 GPa（正确的各向异性） | 6.48 GPa | 8.30 GPa |
| 230 GPa（假设各向同性） | 8.55 GPa | 17.61 GPa |
导热系数（纤维轴向10、垂直方向1、树脂0.2 W/mK，纤维60%）：纤维方向6.08 W/mK，垂直方向串联0.38，Maxwell-Garnett公式0.47 W/mK。
纤维方向刚度用哪个公式都一样，垂直方向却随公式和假设变化这么大。
纤维方向上纤维和树脂伸长相同，所以刚度的简单平均（混合律）基本正确。垂直方向上力交替穿过纤维和树脂，软的树脂决定整体，而且纤维排列方式和树脂中的应力集中左右结果。串联公式是下限，并联公式是上限，真实值在两者之间某处。Halpin-Tsai公式是与实验拟合的中间估计。而且碳纤维本身在不同方向性质不同，忽略这一点会把垂直方向刚度估成2倍。零件分析中垂直方向的载荷或热很重要时，应该用有限元求解表示纤维排列的RVE，并与实测比较来确定材料常数。
多尺度分析流程
- 收集细观组分（纤维、树脂、界面）的性质，包括各向异性。
- 用简单公式给出上下限和参考值。
- 用周期边界条件对表示纤维排列的RVE做有限元分析。
- 把得到的等效常数用于零件分析，必要时把局部应变返回RVE确认局部应力。
- 与试样实测比较验证常数。
“横向开裂的零件”
某CFRP零件在垂直纤维方向受载的部位，试验中比预期更早出现裂纹。分析中把纤维也当作各向同性计算垂直方向刚度，垂直方向刚度约为实际的2倍，载荷分担和树脂应力都估错了。用计入纤维各向异性的RVE重新求等效常数，并在RVE中确认树脂局部应力后，裂纹位置和载荷都得到了解释。
常见错误
错误与对策
| 错误 | 后果 | 对策 |
|---|---|---|
| 假设纤维各向同性 | 高估垂直方向 | 计入纤维各向异性 |
| 垂直方向用混合律 | 大大高估刚度 | 串联或Halpin-Tsai |
| RVE边界条件不当 | 等效常数偏差 | 周期边界条件 |
| 不看局部应力 | 漏掉树脂破坏 | 返回RVE确认 |
| 导热系数按各向同性 | 温度分布出错 | 按方向给定 |
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