凝固・铸造模拟
理论与物理
概述
老师，凝固的CFD是计算什么的呢？
预测熔融金属冷却并固化的过程。这是涉及固液相变的流动与传热问题，例如铸造的填充·凝固分析、连续铸造的坯壳生长、焊接的焊道形成、金属3D打印（PBF/DED）的熔池行为等。
液体变成固体可以用流体力学来处理吗？
焓法（Enthalpy-Porosity法）是标准方法。它不显式追踪固液界面，而是用每个单元的液相分数 $f_L$（0~1的连续变量）来表示凝固的进行程度。
控制方程
请告诉我焓法的方程。
能量方程用焓 $H$ 来描述。
焓是显热与潜热之和。
$h = \int_{T_{ref}}^{T} c_p dT$ 是显热，$f_L$ 是液相分数，$L$ 是凝固潜热。液相分数由液相线温度 $T_L$ 和固相线温度 $T_S$ 决定。
固化部分的流动会怎样呢？
Enthalpy-Porosity法将固化区域视为高阻力的多孔介质。在动量方程中添加达西阻力源项。
$C$ 是糊状区常数（典型值$10^5$~$10^8$），$\epsilon$ 是避免除零的小常数，$\mathbf{u}_{pull}$ 是拉拔速度（连续铸造时）。当 $f_L \to 0$（完全固化）时，源项趋近于无穷大，速度衰减为零。
马兰戈尼对流
熔池的流动有哪些驱动力？
表面张力的温度依赖性（$d\sigma/dT$）引起的马兰戈尼对流主导了熔池的流动模式。
$$ \tau_{Ma} = \frac{d\sigma}{dT} \nabla_s T $$
对于许多金属，$d\sigma/dT < 0$（温度越高表面张力越低），因此会产生从熔池中心向外的流动。但氧或硫的含量可能导致符号反转，从而显著改变流动模式。
Coffee Break 闲谈
凝固的微观世界——枝晶生长与Stephan问题
金属凝固的物理被公式化为“固液界面如何移动”的Stephan问题。对于纯金属，界面沿熔点等温面移动，其速度由潜热与热通量的平衡决定。然而在实际合金中，会产生局部成分过冷，自发形成树枝状（枝晶）的复杂固液界面。这种枝晶生长的CFD直接计算方法——相场法自1990年代以来迅速发展，到2020年代，已能在GPU上以接近实时的速度执行10^6网格的枝晶计算。
各项的物理意义
- 时间项 $\partial(\rho\phi)/\partial t$：想象一下打开水龙头的瞬间。最初水流会不稳定地喷溅，过一会儿才会变成稳定的水流，对吧？描述这个“正在变化的过程”的就是时间项。心脏搏动导致血流脉动，发动机阀门每次开闭引起流动变化，这些都是非定常现象。那么定常分析是什么？就是只观察“经过足够时间流动稳定之后”——也就是将此项设为零。由于计算成本大幅降低，先用定常求解是CFD的基本策略。
- 对流项 $\nabla \cdot (\rho \mathbf{u} \phi)$：把落叶扔进河里会怎样？会被水流带着往下游漂，对吧？这就是“对流”——流体运动搬运物质的效果。暖风的暖气能到达房间的另一端，也是因为空气这个“搬运工”通过对流输送热量。这里有趣的是——这项包含“速度×速度”，因此是非线性的。也就是说，流速变快时此项会急剧增强，变得难以控制。这就是湍流的根本原因。常见的误解：“对流和传导差不多”→ 完全不一样！对流是流动搬运，传导是分子传递。效率有天壤之别。
- 扩散项 $\nabla \cdot (\Gamma \nabla \phi)$：有过在咖啡里倒入牛奶后放置不管的经历吗？即使不搅拌，过一会儿也会自然混合。那就是分子扩散。那么下一个问题——蜂蜜和水，哪个更容易流动？当然是水，对吧？因为蜂蜜的粘度（$\mu$）高，所以不易流动。粘度越大，扩散项越强，流体的运动就变得“粘稠”。雷诺数小的流动（缓慢、粘稠）中扩散占主导。相反，Re数大的流动中，对流占压倒性优势，扩散则成为配角。
- 压力项 $-\nabla p$：推注射器的活塞，液体会从针头有力地射出，对吧？为什么呢？因为活塞侧压力高，针头侧压力低——这个压力差产生了推动流体的力。水坝放水也是同样的原理。天气图上等压线密集的地方会怎样？没错，会刮强风。“有压力差的地方就会产生流动”——这就是纳维-斯托克斯方程压力项的物理意义。这里容易误解的点是：CFD的“压力”通常指表压而非绝对压力。切换到可压缩分析时结果突然出错，原因可能就是混淆了绝对压力/表压。
- 源项 $S_\phi$：被加热的空气会上升——为什么呢？因为比周围空气轻（密度低），被浮力推上去了。这个浮力作为源项添加到方程中。此外，燃气灶火焰产生化学反应热、工厂电磁泵对金属熔液施加洛伦兹力……这些都是“从外部向流体注入能量或力”的作用，都用源项表示。忘记源项会怎样？自然对流分析中忘记加入浮力，流体就完全不动——就像冬天在房间里开了暖气，暖空气却不上浮一样，得到物理上不可能的结果。
假设条件与适用范围
- 连续介质假设：克努森数 Kn < 0.01（分子平均自由程 ≪ 特征长度）时成立
- 牛顿流体假设：剪切应力与应变速率呈线性关系（非牛顿流体需要粘度模型）
- 不可压缩假设（Ma < 0.3时）：将密度视为常数。马赫数0.3以上需考虑可压缩性效应
- Boussinesq近似（自然对流）：仅在浮力项中考虑密度变化，其他项使用恒定密度
- 不适用的情形：稀薄气体（Kn > 0.1）、超音速·极超音速流动（需要捕捉激波）、自由表面流动（需要VOF/Level Set等）
量纲分析与单位制
变量 SI单位 注意点·换算备忘 速度 $u$ m/s 入口条件从体积流量换算时，注意截面积单位 压力 $p$ Pa 区分表压与绝对压力。可压缩分析使用绝对压力 密度 $\rho$ kg/m³ 空气: 约1.225 kg/m³@20°C、水: 约998 kg/m³@20°C 粘性系数 $\mu$ Pa·s 注意与运动粘性系数 $\nu = \mu/\rho$ [m²/s] 混淆 雷诺数 $Re$ 无量纲 $Re = \rho u L / \mu$。层流/湍流转捩的判断指标 CFL数 无量纲 $CFL = u \Delta t / \Delta x$。直接关系到时间步长的稳定性
熔池的流动有哪些驱动力？
表面张力的温度依赖性（$d\sigma/dT$）引起的马兰戈尼对流主导了熔池的流动模式。
对于许多金属，$d\sigma/dT < 0$（温度越高表面张力越低），因此会产生从熔池中心向外的流动。但氧或硫的含量可能导致符号反转，从而显著改变流动模式。
凝固的微观世界——枝晶生长与Stephan问题
金属凝固的物理被公式化为“固液界面如何移动”的Stephan问题。对于纯金属，界面沿熔点等温面移动，其速度由潜热与热通量的平衡决定。然而在实际合金中，会产生局部成分过冷，自发形成树枝状（枝晶）的复杂固液界面。这种枝晶生长的CFD直接计算方法——相场法自1990年代以来迅速发展，到2020年代，已能在GPU上以接近实时的速度执行10^6网格的枝晶计算。
各项的物理意义
- 时间项 $\partial(\rho\phi)/\partial t$：想象一下打开水龙头的瞬间。最初水流会不稳定地喷溅，过一会儿才会变成稳定的水流，对吧？描述这个“正在变化的过程”的就是时间项。心脏搏动导致血流脉动，发动机阀门每次开闭引起流动变化，这些都是非定常现象。那么定常分析是什么？就是只观察“经过足够时间流动稳定之后”——也就是将此项设为零。由于计算成本大幅降低，先用定常求解是CFD的基本策略。
- 对流项 $\nabla \cdot (\rho \mathbf{u} \phi)$：把落叶扔进河里会怎样？会被水流带着往下游漂，对吧？这就是“对流”——流体运动搬运物质的效果。暖风的暖气能到达房间的另一端，也是因为空气这个“搬运工”通过对流输送热量。这里有趣的是——这项包含“速度×速度”，因此是非线性的。也就是说，流速变快时此项会急剧增强，变得难以控制。这就是湍流的根本原因。常见的误解：“对流和传导差不多”→ 完全不一样！对流是流动搬运，传导是分子传递。效率有天壤之别。
- 扩散项 $\nabla \cdot (\Gamma \nabla \phi)$：有过在咖啡里倒入牛奶后放置不管的经历吗？即使不搅拌，过一会儿也会自然混合。那就是分子扩散。那么下一个问题——蜂蜜和水，哪个更容易流动？当然是水，对吧？因为蜂蜜的粘度（$\mu$）高，所以不易流动。粘度越大，扩散项越强，流体的运动就变得“粘稠”。雷诺数小的流动（缓慢、粘稠）中扩散占主导。相反，Re数大的流动中，对流占压倒性优势，扩散则成为配角。
- 压力项 $-\nabla p$：推注射器的活塞，液体会从针头有力地射出，对吧？为什么呢？因为活塞侧压力高，针头侧压力低——这个压力差产生了推动流体的力。水坝放水也是同样的原理。天气图上等压线密集的地方会怎样？没错，会刮强风。“有压力差的地方就会产生流动”——这就是纳维-斯托克斯方程压力项的物理意义。这里容易误解的点是：CFD的“压力”通常指表压而非绝对压力。切换到可压缩分析时结果突然出错，原因可能就是混淆了绝对压力/表压。
- 源项 $S_\phi$：被加热的空气会上升——为什么呢？因为比周围空气轻（密度低），被浮力推上去了。这个浮力作为源项添加到方程中。此外，燃气灶火焰产生化学反应热、工厂电磁泵对金属熔液施加洛伦兹力……这些都是“从外部向流体注入能量或力”的作用，都用源项表示。忘记源项会怎样？自然对流分析中忘记加入浮力，流体就完全不动——就像冬天在房间里开了暖气，暖空气却不上浮一样，得到物理上不可能的结果。
假设条件与适用范围
- 连续介质假设：克努森数 Kn < 0.01（分子平均自由程 ≪ 特征长度）时成立
- 牛顿流体假设：剪切应力与应变速率呈线性关系（非牛顿流体需要粘度模型）
- 不可压缩假设（Ma < 0.3时）：将密度视为常数。马赫数0.3以上需考虑可压缩性效应
- Boussinesq近似（自然对流）：仅在浮力项中考虑密度变化，其他项使用恒定密度
- 不适用的情形：稀薄气体（Kn > 0.1）、超音速·极超音速流动（需要捕捉激波）、自由表面流动（需要VOF/Level Set等）
量纲分析与单位制
| 变量 | SI单位 | 注意点·换算备忘 |
|---|---|---|
| 速度 $u$ | m/s | 入口条件从体积流量换算时，注意截面积单位 |
| 压力 $p$ | Pa | 区分表压与绝对压力。可压缩分析使用绝对压力 |
| 密度 $\rho$ | kg/m³ | 空气: 约1.225 kg/m³@20°C、水: 约998 kg/m³@20°C |
| 粘性系数 $\mu$ | Pa·s | 注意与运动粘性系数 $\nu = \mu/\rho$ [m²/s] 混淆 |
| 雷诺数 $Re$ | 无量纲 | $Re = \rho u L / \mu$。层流/湍流转捩的判断指标 |
| CFL数 | 无量纲 | $CFL = u \Delta t / \Delta x$。直接关系到时间步长的稳定性 |
数值解法与实现
数值解法的细节
请告诉我凝固模拟的数值要点。
最大的挑战是凝固潜热的处理。潜热的释放会产生焓的非线性，导致温度场急剧变化。时间步长管理和迭代计算的收敛是关键。
糊状区常数的影响
糊状区常数 $C$ 怎么设定呢？
$C$ 的值对结果有很大影响。
| $C$ 的值 | 效果 | 用途 |
|---|---|---|
| $10^4$~$10^5$ | 缓慢阻尼 | 低速凝固、连铸 |
| $10^5$~$10^6$ | 标准值 | 一般铸造 |
| $10^7$~$10^8$ | 快速阻尼 | 快速凝固、焊接 |
理想情况下应根据达西渗透率的实验数据确定，但实际工作中通常从 $10^5$~$10^6$ 开始进行灵敏度分析。
与VOF法的耦合
铸造的填充过程是怎么计算的呢？
填充过程用VOF法追踪熔液的自由表面，填充完成后（或与填充同时）计算凝固。Fluent或Flow-3D中可以实现VOF + Solidification/Melting模型的同步计算。
填充过程中的金属液流动模式、氧化膜卷入、气体卷入直接关系到铸造缺陷，因此填充分析是铸造模拟的重要环节。
各工具的实现
| 工具 | 凝固模型 | VOF耦合 | 应力分析联动 |
|---|---|---|---|
| Ansys Fluent | Solidification/Melting | 支持 | 与Mechanical联动 |
| Flow-3D | TruVOF + Solidification | 原生支持 | 有限 |
| STAR-CCM+ | Solidification | 支持 | 结构耦合 |
| ProCAST (ESI) | FEM凝固 + 填充 | 专用填充 | 应力·变形分析集成 |
| MAGMASOFT | 自有FVM | 专用模型 | 残留应力预测 |
ProCAST和MAGMASOFT是铸造专用软件吧？
没错。它们是专注于铸造工艺的专用工具，能够一体化计算填充·凝固·缩孔预测·残留应力·变形。比通用CFD拥有更丰富的铸造专用物理模型（例如：补缩、Niyama判据）。
Enthalpy-Porosity法——实用凝固CFD的标准方法
工业凝固CFD（连续铸造、铸造填充）中最广泛应用的是Enthalpy-Porosity（焓-多孔介质）法。它将固液共存区（糊状区）视为“渗透率低的多孔介质”，通过Kozeny-Carman公式抑制局部速度来再现凝固的进行。该方法由Voller & Prakkash于1987年提出，并实现在ANSYS Fluent和OpenFOAM的solidificationMeltingSource中。模型的表征常数（Amush）通常使用默认值1.6x10^5，但如果该值不合适，凝固速度会产生30~50%的偏差。
迎风格式（Upwind）
一阶迎风：数值扩散大但稳定。二阶迎风：精度提高但有振荡风险。高雷诺数流动中必备。
中心差分（Central Differencing）
二阶精度，但Pe数 > 2时会产生数值振荡。适用于低雷诺数的扩散主导流动。
TVD格式（MUSCL、QUICK等）
通过限制器函数抑制数值振荡同时保持高精度。对捕捉激波或陡峭梯度有效。
有限体积法 vs 有限元法
FVM：自然满足守恒定律。CFD的主流。FEM：对复杂形状·多物理场有利。SPH等无网格法也在发展中。
CFL条件（柯朗数）
显式法：CFL ≤ 1为稳定条件。隐式法：即使CFL > 1也稳定，但影响精度和迭代次数。LES：推荐CFL ≈ 1。物理意义：一个时间步内信息传播不超过一个网格。
残差监控
连续性方程·动量·能量的各项残差下降3~4个数量级可判断为收敛。质量守恒的残差尤其重要。
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