熔化、凝固模拟难在哪里？

固液边界（凝固界面）随时间移动，并在那里吸放潜热。界面位置是解的一部分，无法事先让网格与之对齐。因此常用焓法，不追踪界面，而由各网格的能量（焓）求液相率。

凝固速度怎么估算？

液体处于熔点、壁面保持比熔点低ΔT时，凝固层厚度按 s = 2λ√(αt) 随时间平方根增长（诺伊曼解）。λ由斯特藩数 St = cΔT/L 决定。壁面−10℃的水λ = 0.176，结冰10 mm需711秒（约12分钟），100 mm约20小时。

可以用简单近似计算吗？

斯特藩数小（显热相对潜热小）时，把温度分布视为直线的准稳态近似 λ ≈ √(St/2) 也很准，水（St 0.063）误差1%。但铝冷却300 K时（St 0.76）会把λ高估11%，凝固时间低估19%。

熔化·凝固模拟

分类：热分析·相变 | 2026-10-01 改写

CAE visualization for melting solidification theory - technical simulation diagram

熔融·凝固模拟

理论：移动界面与潜热

概述

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熔化、凝固计算与普通导热计算有什么不同？

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关键在于固液边界处吸放潜热。在熔点温度不变而有大量热量进出，所以界面只能以这些热量被带走的速度前进。而且界面位置是解的一部分，无法预先让网格对齐。因此使用焓法：计算各网格的能量（焓），由此求液相比例和温度。无需显式追踪界面，可直接用于多维问题。是否实现正确，基本做法是用有精确解的斯特藩问题来检验。

诺伊曼解（单相斯特藩问题）

$$ \lambda\,e^{\lambda^2}\,\mathrm{erf}(\lambda) = \frac{St}{\sqrt{\pi}},\qquad St = \frac{c\,\Delta T}{L},\qquad s(t) = 2\lambda\sqrt{\alpha t} $$

液体处于熔点，壁面保持比熔点低ΔT。c和α为固体比热和热扩散率，L为潜热。St小时λ ≈ √(St/2)（准稳态近似）。

焓法

$$ \frac{\partial H}{\partial t} = \nabla\cdot(k\nabla T),\qquad H = \rho c\,(T - T_m) - \rho L\,(1 - f_l),\qquad f_l = \begin{cases}1 & H \ge 0\\ 1 + H/(\rho L) & -\rho L < H < 0\\ 0 & H \le -\rho L\end{cases} $$

f_l为液相率。纯物质在熔点处液相率由0变为1，合金则在一个温度区间内变化，该区域即为糊状区。

Coffee Break 随笔闲谈

源自北极冰层厚度

斯特藩于1889年在研究极地海冰增厚速度时，提出了带移动界面的导热问题。据说精确解在此之前已由诺伊曼在讲课中给出，现称诺伊曼解。凝固层厚度与时间平方根成正比的结论，从海冰、焊接、铸造到储热材料都通用。至今仍是数值方法首先使用的验证问题。

算例

例1：凝固层生长所需时间

材料	壁面过冷	St	λ	10 mm	50 mm	100 mm
水（冰）	10 K	0.063	0.176	711 秒	4.9 小时	19.7 小时
铝	300 K	0.76	0.554	1.0 秒	26 秒	105 秒
石蜡（储热材料）	10 K	0.10	0.220	57 分	23.9 小时	95.6 小时

厚度变为10倍，时间变为100倍。铝的热扩散率约为冰的70倍，过冷度也更大，所以快几个数量级（实际铸型中由于铸型一侧的热阻会更慢）。

例2：焓法验证（冰、400个网格）

界面位置	焓法	诺伊曼解	差
10 mm	710 秒	711 秒	−0.1%
50 mm	17,762 秒	17,764 秒	0.0%

例3：准稳态近似的误差

材料	St	λ误差	100 mm时间（精确 / 近似）
水（冰）	0.063	+1.0%	71,056 / 69,609 秒
石蜡	0.10	+1.6%	344,302 / 333,333 秒
铝	0.76	+11.0%	105 / 85 秒

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斯特藩数大时，简单近似就不能用了。

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对。准稳态近似假定固体内温度呈直线分布。潜热大、界面推进慢时，固体温度先稳定下来，所以很准。斯特藩数大时，冷却固体所需的显热不可忽略，温度分布偏离直线，近似会高估凝固速度。铝冷却300 K的例子中时间算短了19%。在铸造中这会低估凝固时间，误判缩孔。焓法等数值计算自动包含这一影响，但应该用这类精确解检验一次网格和时间步长是否合适。

计算流程

求斯特藩数，判断潜热与显热哪个占主导。
纯物质在熔点附近窄温度带内、合金在固相线到液相线之间给定液相率。
液相对流显著时，计入糊状区的流动阻力。
用诺伊曼解等精确解验证网格和时间步长。
体积变化（收缩）或过冷重要时，选用能处理它们的模型。

Coffee Break 随笔闲谈

“储热槽只熔化了一半”

某使用石蜡的储热槽，设计上一夜（10小时）应全部熔化，实际只熔化了一半左右。设计计算中石蜡导热系数统一取了包含液相对流的较大值。实际上熔化层在换热管上方对流，下方却几乎不动，热量仍以固体导热系数0.24 W/mK传递。仅靠导热熔化50 mm厚度约需24小时，与实测大致吻合。增加换热翅片缩短导热距离后问题解决。

常见错误

错误与对策

错误	后果	对策
St大却用准稳态	低估凝固时间	诺伊曼解·数值计算
液相率温度带过窄	温度振荡	取几个网格宽
用统一导热系数代替对流	漏掉上下差异	求解流动
网格粗	界面阶梯式推进	用精确解确认
忽略铸型热阻	凝固过快	计入界面换热

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