风损
理论与物理
概述
风损是什么？ 这个术语不太常见。
是旋转体与静止壁面之间空气（或流体）摩擦导致的功率损失。在高速旋转机械中，其大小不可忽视。对于涡轮发电机、飞轮、高速电机等尤为重要。
旋转圆盘的摩擦损失
具体有多大损失呢？
封闭空间内旋转圆盘的摩擦损失可用下式表示。
$C_M$ 是力矩系数，是旋转雷诺数 $Re_\theta = \rho \omega r^2 / \mu$ 和间隙比 $s/r$ 的函数。
与 $\omega^3$ 成正比啊。转速的影响很大呢。
是的。转速提高一倍，风损就会变成8倍。所以在高速旋转机械中，它可能成为主导性的损失源。
流动状态
间隙中的流动也有层流和湍流之分吗？
$C_M$ 的经验公式
有关于力矩系数的经验公式吗？
对于状态III，Daily的公式具有代表性。
通过将CFD结果与此经验公式进行比较，可以简便地验证计算的合理性。
旋转圆盘的流体力学——von Karman的圆盘解析（1921年）与Stokes的先驱
对静止流体中旋转圆盘的流动进行解析的是Theodore von Karman（1921年）。他不仅研究了转子的卡门涡街，还推导了旋转圆盘边界层（von Karman边界层）的精确解析解，并建立了圆盘扭矩与涡粘性之间的关系式。Cochran(1934)以更高精度计算了这个解，Daily & Nece(1960)通过实验扩展了模型，奠定了当今相关公式的基础。现代涡轮机械圆盘腔CFD是以100年前von Karman的解析为起点，并数值叠加了多级、多体旋转、热气体侵入等复杂三维效应的发展形式。科学家通过数学方法取得的革命性成果，在100年后直接应用于喷气发动机冷却设计，这一点值得特别提及。
各项的物理意义
- 时间项 $\partial(\rho\phi)/\partial t$：想象一下打开水龙头的瞬间。最初水流会不稳定地喷溅，过一会儿才会变成稳定的水流，对吧？描述这个“正在变化的过程”的就是时间项。心脏搏动导致血流脉动，发动机阀门每次开闭引起流动变化，这些都是非定常现象。那么定常分析是什么？就是只看“经过足够时间流动稳定之后”——也就是将此项设为零。计算成本会大幅下降，因此先用定常求解是CFD的基本策略。
- 对流项 $\nabla \cdot (\rho \mathbf{u} \phi)$：把落叶丢进河里会怎样？会被水流带着往下游漂去。这就是“对流”——流体运动携带物质的效果。暖风的暖气能到达房间另一端，也是因为空气这个“搬运工”通过对流输送热量。这里有趣的是——这项包含“速度×速度”，因此是非线性的。也就是说，流速加快，这项会急剧增强，变得难以控制。这就是湍流的根本原因。常见的误解：“对流和传导差不多”→ 完全不一样！对流是流动携带，传导是分子传递。效率有天壤之别。
- 扩散项 $\nabla \cdot (\Gamma \nabla \phi)$：有过在咖啡里倒入牛奶后放置不管的经历吗？即使不搅拌，过一会儿也会自然混合。那就是分子扩散。那么下一个问题——蜂蜜和水，哪个更容易流动？当然是水。因为蜂蜜的粘度（$\mu$）高，所以不易流动。粘度越大，扩散项越强，流体的运动就变得“粘稠”。雷诺数小的流动（缓慢、粘稠）中扩散占主导。相反，Re数大的流动中，对流占压倒性优势，扩散则成为配角。
- 压力项 $-\nabla p$：推动注射器的活塞，液体就会从针头有力地射出，对吧？为什么呢？因为活塞侧压力高，针头侧压力低——这个压力差就是推动流体的力。水坝放水也是同样原理。天气图上等压线密集的地方会怎样？没错，会刮强风。“有压力差的地方就会产生流动”——这就是纳维-斯托克斯方程压力项的物理意义。这里的误解点：CFD中的“压力”通常指表压而非绝对压力。切换到可压缩分析时结果突然出错，原因可能就是混淆了绝对压力/表压。
- 源项 $S_\phi$：受热的空气会上升——为什么呢？因为变得比周围轻（密度低），被浮力推上去了。这个浮力作为源项添加到方程中。此外，燃气灶火焰产生化学反应热、工厂电磁泵对金属熔液施加洛伦兹力……这些都是“从外部向流体注入能量或力”的作用，都用源项表示。忘记源项会怎样？自然对流分析中忘记加入浮力，流体就完全不动——冬天房间里开了暖气，暖空气却不上升，得到这种物理上不可能的结果。
假设条件与适用范围
- 连续介质假设：克努森数 Kn < 0.01（分子平均自由程 ≪ 特征长度）时成立
- 牛顿流体假设：剪切应力与应变率呈线性关系（非牛顿流体需要粘度模型）
- 不可压缩假设（Ma < 0.3 时）：将密度视为常数。马赫数0.3以上需考虑可压缩性效应
- Boussinesq近似（自然对流）：仅在浮力项中考虑密度变化，其他项使用恒定密度
- 不适用的情形：稀薄气体（Kn > 0.1）、超音速·高超音速流动（需要捕捉激波）、自由表面流动（需要VOF/Level Set等）
量纲分析与单位制
| 变量 | SI单位 | 注意事项·换算备忘 |
|---|---|---|
| 速度 $u$ | m/s | 入口条件中从体积流量换算时，注意截面积单位 |
| 压力 $p$ | Pa | 区分表压和绝对压力。可压缩分析中使用绝对压力 |
| 密度 $\rho$ | kg/m³ | 空气: 约1.225 kg/m³@20°C，水: 约998 kg/m³@20°C |
| 粘性系数 $\mu$ | Pa·s | 注意与运动粘性系数 $\nu = \mu/\rho$ [m²/s] 混淆 |
| 雷诺数 $Re$ | 无量纲 | $Re = \rho u L / \mu$。层流/湍流转捩的判断指标 |
| CFL数 | 无量纲 | $CFL = u \Delta t / \Delta x$。直接关系到时间步长的稳定性 |
数值解法与实现
CFD模型的构成
如何用CFD建模计算风损？
将旋转圆盘与静止壁面之间的间隙空间建模为流体区域。
- 旋转壁面: 圆盘表面（无滑移，指定旋转速度）
- 静止壁面: 机匣内表面（无滑移，速度为零）
- 入口/出口: 如有间隙泄漏流则进行设置
若轴对称，则2D轴对称模型足够。若有3D效应（螺栓头、冷却孔等），则使用扇形模型。
湍流模型的选择
哪种湍流模型合适？
RSM更好吗？
旋转圆盘流动中，周向和径向的雷诺应力各向异性很强。RSM（如BSL-RSM等）直接对这种各向异性进行建模，因此有时精度比SST更高。但计算成本会增加1.5～2倍。
网格要求
间隙中需要多少网格？
间隙方向（轴向）40～60个网格，径向100～200个网格是基准。两侧壁面布置棱柱层，确保 y+ < 1。2D轴对称的话，数万个网格就足够了。
风损计算——Daily-Nece相关公式与CFD的精度比较
旋转圆盘的风损扭矩M，可通过Daily & Nece(1960)的实验相关公式算出。四种流动状态（G-Reomega组合）各自适用不同的系数公式，在湍流区（状态III,IV），M与转子转速的平方、半径的五次方成正比，与Re的1/5次方成反比。这个相关公式在发动机·涡轮设计中至今仍广泛用于初期估算，但在超出适用范围（G=0.02〜0.2，Reomega=10^4〜10^7）的条件下，误差可能超过30%。与CFD的比较研究表明，多篇论文报告称，在圆盘间隙G<0.02（狭窄间隙）或圆盘有凹坑·孔洞的实际形状下，Daily-Nece公式倾向于比CFD预测的损失低10〜20%。对于形状复杂的发动机圆盘，标准流程是在用相关公式进行初期估算后，务必用CFD进行精密确认。
迎风格式（Upwind）
一阶迎风：数值扩散大但稳定。二阶迎风：精度提高但有振荡风险。高雷诺数流动中必备。
中心差分（Central Differencing）
二阶精度，但Pe数 > 2时会产生数值振荡。适用于低雷诺数的扩散主导流动。
TVD格式（MUSCL、QUICK等）
通过限制器函数抑制数值振荡，同时保持高精度。对捕捉激波或陡峭梯度有效。
有限体积法 vs 有限元法
FVM：自然满足守恒定律。CFD的主流。FEM：对复杂形状·多物理场有利。SPH等无网格法也在发展中。
CFL条件（库朗数）
显式法：CFL ≤ 1为稳定条件。隐式法：即使CFL > 1也稳定，但影响精度和迭代次数。LES：推荐CFL ≈ 1。物理意义：一个时间步内信息传播不超过一个网格。
残差监控
连续性方程·动量·能量的各项残差下降3～4个数量级可判断为收敛。质量守恒的残差尤其重要。
松弛因子
压力：0.2〜0.3，速度：0.5〜0.7是常见的初始值。发散时降低松弛因子。收敛后可提高以加速。
非定常计算的内部迭代
在每个时间步内迭代直至收敛到定常解。内部迭代次数：5〜20次为基准。残差在时间步之间波动时，需重新审视时间步长。
SIMPLE法的比喻
SIMPLE法是“交替调整”的方法。先假设求出速度（预测步），然后根据该速度修正压力以满足质量守恒（修正步），再用修正后的压力修正速度——反复进行这种“投接球”过程以逼近正确答案。类似于两人调整架子水平的作业：一人调整高度，另一人调整平衡，如此反复交替。
迎风格式的比喻
迎风格式是“站在河流中重视上游信息”的方法。站在河里的人看下游也无法知道水的来源——这反映了“上游信息决定下游”的物理规律。虽然是一阶精度，但能正确捕捉流动方向，因此稳定性高。
实践指南
转子系统温升
风损会导致温度升高吗？
损失全部转化为热量。在密闭空间中，若冷却不足，温度会持续上升。这在蒸汽涡轮的轮室或电机的空隙中会成为问题。
冷却流量 $\dot{m}_{cooling}$ 越少，温升越大。
CFD也能预测温度分布吗？
启用能量方程并用CHT求解，就能得到转
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