2011年由Nicoud等人提出的LES亚格子尺度（SGS）模型。由速度梯度张量的奇异值 σ1 ≥ σ2 ≥ σ3 按 ν = (CΔ)²·σ3(σ1−σ2)(σ2−σ3)/σ1² 求涡黏度。其设计使涡黏度在非湍流流动中自动为0。

σ模型在哪些流动中涡黏度为0？

纯剪切、刚体旋转、各向同性膨胀、轴对称应变以及所有二维流动。算例中Smagorinsky在纯剪切中不为0，WALE和Vreman在刚体旋转中不为0。优点是不会在层流区域或涡核中加入多余黏性。

σ模型在近壁处表现如何？

与壁面距离的三次方成比例减小，与湍流涡黏度的正确行为一致。算例中σ模型和WALE为三次方，Vreman为一次方，Smagorinsky在壁面也不减小（零次方），近壁处需要阻尼函数。

σ（西格玛）模型（LES亚格子模型）

分类：湍流与LES | 2026-10-01 改写

CAE visualization for sigma model theory - technical simulation diagram

σ模型（SGS）

理论：由奇异值确定涡黏度

概述

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在LES中用Smagorinsky模型，连本该是层流的区域黏性也变大，转捩被推迟了。

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Smagorinsky只用应变率大小确定涡黏度，所以只要有速度梯度就会加黏性，不管是不是湍流——即使是简单剪切流。σ模型是Nicoud等人于2011年为解决此问题而建立的，使用速度梯度张量三个奇异值的组合。它被设计为在简单剪切、刚体旋转、二维流动等不可能是湍流的梯度形式下自动为0。

模型公式

$$ \nu_{sgs} = (C_\sigma \Delta)^2\,\frac{\sigma_3(\sigma_1 - \sigma_2)(\sigma_2 - \sigma_3)}{\sigma_1^2}, \qquad C_\sigma \approx 1.35 $$

$\sigma_1 \ge \sigma_2 \ge \sigma_3 \ge 0$ 为速度梯度张量的奇异值，$\Delta$ 为滤波宽度。二维流动中 $\sigma_3 = 0$；刚体旋转或各向同性膨胀中三者相等；轴对称应变中 $\sigma_2 = \sigma_3$——因此分子都为0。

$$ \nu_{sgs}^{Smag} = (C_s \Delta)^2 \sqrt{2 S_{ij} S_{ij}}, \qquad C_s \approx 0.1\text{–}0.2 $$

用于比较的Smagorinsky公式，只由应变率 $S_{ij}$ 的大小决定。

Coffee Break 随笔闲谈

六十年来不断削减的多余黏性

第一个亚格子模型由气象学家Smagorinsky于1963年为大气环流计算而建立。它简单稳健，但在近壁处和层流区域黏性过大。20世纪90年代Germano等人的动态方法给出了逐点确定系数的方法；1999年的WALE使黏性在近壁处正确衰减；2004年的Vreman在简化计算的同时使剪切时为0。2011年的σ模型用奇异值这一清晰的量，构造出同时满足这些“应为0之处”条件的形式。

算例：在基本流动中比较

对滤波宽度1 mm、速度梯度大小100 1/s的基本流动，计算四种模型的涡黏度（m²/s）。系数：Smagorinsky 0.17、WALE 0.325、Vreman 2.5×0.17²、σ模型1.35。

流动	Smagorinsky	WALE	Vreman	σ模型
纯剪切	2.9×10⁻⁶	0	0	0
刚体旋转	0	4.8×10⁻⁶	2.6×10⁻⁶	0
各向同性膨胀	2.4×10⁻⁶	0	2.4×10⁻⁶	0
轴对称应变	5.0×10⁻⁶	0.8×10⁻⁶	4.4×10⁻⁶	0
平面应变（二维）	5.8×10⁻⁶	0.9×10⁻⁶	5.1×10⁻⁶	0
一般三维梯度	4.8×10⁻⁶	1.1×10⁻⁶	4.5×10⁻⁶	2.5×10⁻⁶

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Smagorinsky在纯剪切中的2.9×10⁻⁶大吗？

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空气运动黏度为1.5×10⁻⁵ m²/s，相当于多加了19%。层流边界层变得这么黏，小扰动就长不起来，转捩被推迟。平面应变中为39%。σ模型在所有二维型梯度中都为0，只在出现三维脉动时才加黏性。WALE和Vreman在刚体旋转中不为0，会在涡核中加黏性。从表中可以清楚看出哪个模型在什么情况下加入多余黏性。

例2：近壁行为

在无滑移壁面附近，由速度梯度形式计算涡黏度随壁面距离 y 的几次方减小。湍流涡黏度正确的行为是按 y 的三次方减小。

模型	近壁衰减	判定
Smagorinsky	y⁰	不减小（需要阻尼函数）
Vreman	y¹	减小但较慢
WALE	y³	正确
σ模型	y³	正确

使用参考

对转捩或残留层流区域的流动，优先用σ模型或WALE。
对涡核长期存在的流动（翼尖涡、尾流），σ模型更有利。
系数1.35只是参考，最优值随网格和数值格式变化。用基准流动（如槽道流）确认。
近壁处网格要足够细（y⁺ ≈ 1），或与壁模型结合。
换模型比较结果差异，也是了解SGS模型影响的好方法。

Coffee Break 随笔闲谈

“翼尖涡很快就消失了”

用LES追踪机翼后方的翼尖涡时，涡比实验更早减弱。涡核接近刚体旋转，脉动很小。但所用模型在刚体旋转中也加涡黏度，一点点削弱了涡核的旋转。换成σ模型后，涡核处涡黏度几乎为0，涡一直保持到下游。以涡为主角的流动中，模型能否在“纯旋转”部分保持沉默决定了结果。

常见错误

错误与对策

错误	后果	对策
用Smagorinsky算转捩	转捩推迟	σ模型或WALE
直接相信默认系数	耗散过大或过小	用基准流动确认
近壁网格太粗	壁面摩擦偏差	y⁺ ≈ 1或壁模型
忽略数值耗散	模型效果被掩盖	低耗散格式
只凭模型差异下结论	与网格影响混淆	也改变网格比较

🙋

我想了解相关内容。

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可以用湍流模型模拟器和湍流边界层计算确认湍流基础。其他模型参考Smagorinsky模型、动态Smagorinsky、WALE模型和Vreman模型，整体情况参考LES基础和壁模型LES。