形状係数
理论与物理
形状系数（Shape Factor）是什么
老师，形状系数是用来做什么的？
它是将二维或三维稳态热传导问题归结为一维热阻的概念。使用形状系数 $S$ 可以表示为
这样就能直接从 $\Delta T$ 得知散热量。热阻为 $R = 1/(kS)$。
可以将复杂形状汇总成一个数值呢。
$S$ 是仅由形状和边界条件决定的几何量，单位是 [m]（对于2D问题为 [m/m] = 无量纲/单位深度）。
典型的形状系数
| 形状 | $S$ | 适用条件 |
|---|---|---|
| 无限大平板 | $A/L$ | 基本形式 |
| 同心圆筒 | $2\pi L / \ln(r_2/r_1)$ | 长度 $L$ |
| 同心球 | $4\pi r_1 r_2/(r_2 - r_1)$ | — |
| 埋设球体（从半无限体表面到深度$z$） | $4\pi r / (1 - r/(2z))$ | $z > r$ |
| 埋设圆柱（半无限体） | $2\pi L / \cosh^{-1}(z/r)$ | $z > r$, $L \gg r$ |
| 两个平行圆柱 | $2\pi L / \cosh^{-1}((d^2-r_1^2-r_2^2)/(2r_1 r_2))$ | 中心距 $d$ |
埋设球体和埋设圆柱的公式看起来很实用呢。
用于地下埋设管道的散热量计算、建筑物基础向地下的传热、地源热泵设计等。形状系数的最大优点在于可以通过手算得到估算值。
形状系数的推导
从拉普拉斯方程 $\nabla^2 T = 0$ 的解推导。对于同心圆筒的情况
因此得到 $S = 2\pi L / \ln(r_2/r_1)$。
是从解析解反推形状系数呢。
对于无法得到解析解的形状，则使用FEM通过 $S = q/(k\Delta T)$ 进行数值计算。
形状系数的定义与物理意义
形状系数S是用q=SkΔT表示复杂形状热流量的无量纲系数。1950年代，Carslaw & Jaeger在《固体中的热传导》中将其系统化，整理了从埋设管道到球体、圆柱等60多种解析解作为表格。
各项的物理意义
- 蓄热项 $\rho c_p \partial T/\partial t$：单位体积的热能蓄积率。【日常示例】铁锅不易加热也不易冷却，而铝锅易加热也易冷却——这是由于密度 $\rho$ 和比热 $c_p$ 的乘积（热容量）不同。热容量大的物体温度变化缓慢。水的比热非常大（4,186 J/(kg·K)），因此沿海地区的气温比内陆更稳定。在非稳态分析中，此项决定了温度随时间的变化速率。
- 热传导项 $\nabla \cdot (k \nabla T)$：基于傅里叶定律的热传导。与温度梯度成比例的热流。【日常示例】将金属勺子放入热锅中，勺柄也会变热——因为金属的热导率 $k$ 高，热量能迅速从高温侧传递到低温侧。木勺不会变热是因为其 $k$ 值小。隔热材料（如玻璃棉）的 $k$ 值极小，即使存在温度梯度，热量也难以传递。这是将“有温差的地方就有热流”这一自然趋势公式化的结果。
- 对流项 $\rho c_p \mathbf{u} \cdot \nabla T$：伴随流体运动的热输送。【日常示例】吹风扇感到凉爽，是因为风（流体流动）带走了体表附近的热空气，并供应了新鲜的冷空气——这是强制对流。供暖时房间天花板附近变暖，是因为受热空气因浮力上升的自然对流。PC的CPU散热器风扇也是通过强制对流散热。对流是比热传导效率高得多的热输送手段。
- 热源项 $Q$：内部发热（焦耳热、化学反应热、辐射吸收等）。单位: W/m³。【日常示例】微波炉通过食品内部的微波吸收（体积发热）加热。电热毯的加热线通过焦耳发热（$Q = I^2 R / V$）变暖。锂离子电池充放电时的发热、刹车片的摩擦热在分析中也需要作为热源考虑。与从外部向“表面”提供热量的边界条件不同，热源项表示“内部”的能量生成。
假设条件与适用范围
数值解法与实现
数值形状系数的计算
复杂形状的形状系数怎么求呢？
使用FEM求解稳态热传导，并按以下步骤计算 $S$。
1. 在高温面设置 $T_1$，低温面设置 $T_2$ 的Dirichlet条件
2. 将 $k$ 设为 1 W/(m K)（为简化起见）
3. 执行分析，获取高温面（或低温面）的总热流量 $q$
4. 计算 $S = q / (k \cdot \Delta T) = q / (T_1 - T_2)$
设 $k = 1$ 是为了计算方便吧。
是的。$S$ 是与 $k$ 无关的几何量，所以 $k$ 的值不影响结果。
网格收敛性确认
形状系数是积分量（总热流量），所以对局部网格的敏感性较小，但形状复杂时需要确认收敛性。
| 网格级别 | 单元数 | $S$ | 误差 |
|---|---|---|---|
| 粗 | 1,000 | 15.2 m | — |
| 中 | 10,000 | 15.8 m | 3.9% |
| 细 | 100,000 | 15.9 m | 0.6% |
| 非常细 | 1,000,000 | 15.9 m | 0.0% |
积分量收敛得比较快呢。
温度的积分量比应力的局部值收敛更快。通常1万个单元就能达到实用精度。
叠加原理
形状系数是线性问题，因此可以叠加。存在多个热源时，可以将各热源的形状系数相加。此外，利用对称条件可以减少计算量。
用对称面做一半模型，然后把 $S$ 乘以2倍就行了吧。
没错。对于地下埋设圆柱的情况，将地表作为对称面（绝热面）处理，可以将问题从半无限体缩小到有限区域。
形状系数解析解一览表的用法
地下埋设管（直径D、深度z、长度L）的形状系数为S=2πL/ln(4z/D)（当z>>D时）。例如，对于D=100mm、z=1m的东京都水管20m，S≈27m，在土壤k=1.5 W/m·K时，可得到每ΔT约243W的热流量，这是实用的计算。
线性单元 vs 二次单元
在热传导分析中，通常线性单元就能获得足够的精度。在温度梯度陡峭的区域（如热冲击等）推荐使用二次单元。
热流评估
根据单元内的温度梯度计算。有时需要像节点应力那样进行平滑处理。
对流-扩散问题
当佩克莱数较高（对流主导）时，需要迎风稳定化（如SUPG等）。纯热传导问题则不需要。
瞬态分析的时间步长
相对于热扩散的特征时间 $\tau = L^2 / \alpha$（$\alpha$: 热扩散率），需要设置足够小的时间步长。对于急剧的温度变化，自动时间步长控制有效。
非线性收敛
由温度相关物性值引起的非线性通常比较温和，Picard迭代（直接替换法）通常就足够了。对于辐射的强非线性，推荐使用牛顿法。
稳态分析判定
当所有节点的温度变化低于阈值（例如 $|\Delta T| / T_{max} < 10^{-5}$ 等）时判定为收敛。
显式法与隐式法的比喻
显式法是“仅凭当前信息预测未来的天气预报”——计算快，但时间步长大会不稳定（会错过风暴）。隐式法是“也考虑未来状态的预测”——即使时间步长大也能稳定，但每个步长都需要解方程，比较耗时。对于没有急剧温度变化的问题，使用隐式法配合较大的时间步长更高效。
实践指南
地下埋设管道的散热计算
形状系数最常应用在什么场合？
是地下埋设管道的散热量计算。地下温度场可以当作半无限体处理，形状系数的公式可以直接使用。
计算示例
蒸汽管道（外径114.3mm，保温层外径214.3mm）埋设在地表下1.5m深度。地下温度15℃，保温层外表面80℃。土壤的 $k_{\text{soil}} = 1.5$ W/(m K)。
每米散热184W吗。
100米管道就是18.4kW的热损失。将其换算成年能源成本，进行保温层厚度的经济优化。
建筑物基础的地中传热
ISO 13370也规定了基于形状系数的混凝土地面（直接接触土壤的混凝土楼板）向地中传热的计算。
| 参数 | 影响 |
|---|---|
| 基础面积/周长比 | 越大，向地中的散热越少 |
| 保温材料布置 | 基础外周保温最有效 |
| 土壤的 $k$ | 砂 1.5、粘土 1.0、泥炭 0.5 W/(m K) |
建筑物越大越有利呢。
因为面积与 $L^2$ 成正比，周长与 $L$ 成正比，所以大型建筑单位周长的面积更大，地中传热的影响相对变小。
形状系数的参考文献
形状系数的全面列表收录在Incropera的《传热传质基础》Table 4.1，或Bejan的《传热学》附录中。特殊形状的文献以Hahne & Grigull的著作最为丰富。
教科书上没有的形状就只能用FEM求了吧。
没错。一旦用FEM求得 $S$，就可以作为设计公式存入数据库，以后就可以用于手算。
形状系数解析解一览表的用法
地下埋设管（直径D、深度z、长度L）的形状系数为S=2πL/ln(4z/D)（当z>>D时）。例如，对于D=100mm、z=1m的东京都水管20m，S≈27m，在土壤k=1.5 W/m·K时，可得到每ΔT约243W的热流量，这是实用的计算。
线性单元 vs 二次单元
在热传导分析中，通常线性单元就能获得足够的精度。在温度梯度陡峭的区域（如热冲击等）推荐使用二次单元。
热流评估
根据单元内的温度梯度计算。有时需要像节点应力那样进行平滑处理。
对流-扩散问题
当佩克莱数较高（对流主导）时，需要迎风稳定化（如SUPG等）。纯热传导问题则不需要。
瞬态分析的时间步长
相对于热扩散的特征时间 $\tau = L^2 / \alpha$（$\alpha$: 热扩散率），需要设置足够小的时间步长。对于急剧的温度变化，自动时间步长控制有效。
非线性收敛
由温度相关物性值引起的非线性通常比较温和，Picard迭代（直接替换法）通常就足够了。对于辐射的强非线性，推荐使用牛顿法。
稳态分析判定
当所有节点的温度变化低于阈值（例如 $|\Delta T| / T_{max} < 10^{-5}$ 等）时判定为收敛。
显式法与隐式法的比喻
显式法是“仅凭当前信息预测未来的天气预报”——计算快，但时间步长大会不稳定（会错过风暴）。隐式法是“也考虑未来状态的预测”——即使时间步长大也能稳定，但每个步长都需要解方程，比较耗时。对于没有急剧温度变化的问题，使用隐式法配合较大的时间步长更高效。
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