形状係数
形状係数的理论基础
形状係数（Shape Factor）是什么
老师，形状係数有什么用？
将2次元或3次元的定常热传导问题简化为1次元热阻的概念。使用形状係数 $S$ 可以表示为
从 $\Delta T$ 可以直接得到放热量。热阻为 $R = 1/(kS)$。
复杂的形状可以集约为一个数值。
$S$ 是仅由形状和边界条件决定的几何量，单位为 [m]（2D问题中为 [m/m] = 无次元/单位深度）。
代表性的形状係数
| 形状 | $S$ | 适用条件 |
|---|---|---|
| 无限平板 | $A/L$ | 基本形 |
| 同心圆筒 | $2\pi L / \ln(r_2/r_1)$ | 长度 $L$ |
| 同心球 | $4\pi r_1 r_2/(r_2 - r_1)$ | — |
| 埋设球（半无限体表面从深度$z$） | $4\pi r / (1 - r/(2z))$ | $z > r$ |
| 埋设圆筒（半无限体） | $2\pi L / \cosh^{-1}(z/r)$ | $z > r$, $L \gg r$ |
| 2条平行圆筒 | $2\pi L / \cosh^{-1}((d^2-r_1^2-r_2^2)/(2r_1 r_2))$ | 中心间距 $d$ |
埋设球和埋设圆筒的公式看起来很实用。
在地中埋设管道的放热量计算、建筑物基础的地中传热、地热热泵的设计等中使用。用手工计算获得概算结果是形状係数的最大优点。
形状係数的推导
从拉普拉斯方程 $\nabla^2 T = 0$ 的解推导。对于同心圆筒的情况
因此得到 $S = 2\pi L / \ln(r_2/r_1)$。
从解析解中反推形状係数。
对于无法得到解析解的形状，用FEM数值计算 $S = q/(k\Delta T)$。
形状係数的定义和物理意义
形状係数S是在复杂形状中用q=SkΔT表示热流量的无次元系数。1950年代由Carslaw & Jaeger在《固体的热传导》中系统化，从埋设管道到球体·圆柱，超过60种解析解被整理成表格。
形状係数的数值计算方法
形状係数的数值计算
怎样求复杂形状的形状係数？
用FEM求解定常热传导，按照以下步骤计算 $S$。
1. 在高温面设定 $T_1$，在低温面设定 $T_2$ 的Dirichlet条件
2. 设定 $k = 1$ W/(m K)（为简化）
3. 执行分析，获得高温面（或低温面）的全热流量 $q$
4. 计算 $S = q / (k \cdot \Delta T) = q / (T_1 - T_2)$
设定 $k = 1$ 是为了简化计算。
是的。$S$ 是不依赖于 $k$ 的几何量，所以 $k$ 的值不影响结果。
网格收敛确认
形状係数是积分量（全热流量），所以局部网格敏感性较小，但复杂形状需要收敛确认。
| 网格级别 | 单元数 | $S$ | 误差 |
|---|---|---|---|
| 粗糙 | 1,000 | 15.2 m | — |
| 中等 | 10,000 | 15.8 m | 3.9% |
| 细致 | 100,000 | 15.9 m | 0.6% |
| 非常细致 | 1,000,000 | 15.9 m | 0.0% |
积分量收敛相对较快。
温度的积分量比应力的局部值收敛更快。通常1万个单元就能获得实用精度。
叠加原理
形状係数是线性问题，可以使用叠加原理。多个热源存在时，各热源的形状係数可以相加。也可以使用对称条件来减少计算量。
用对称面将模型减半，然后将 $S$ 乘以2？
正是如此。对于地中埋设圆筒，将地表面视为对称面（绝热面），可以将问题从半无限体缩小到有限领域。
形状係数解析解一览的使用方法
地中埋设管（直径D、深度z、长度L）的形状係数为S=2πL/ln(4z/D)（z>>D时）。例如D=100mm、z=1m的东京水道管20m，S≈27m，土壤k=1.5 W/m·K时，q≈243W的ΔT每的热流量是实用计算。
形状係数的实务应用
地中埋设管道的放热计算
形状係数最常用在什么场合？
地中埋设管道的放热量计算。地中温度场可以作为半无限体处理，形状係数公式可以直接使用。
计算示例
蒸汽管道（外径114.3mm，保温材外径214.3mm）埋设在地表以下1.5m。地中温度15℃，保温材外面80℃。地盘 $k_{\text{soil}} = 1.5$ W/(m K)。
每米184W的放热。
100m的管道就是18.4kW的热损失。换算成年能源成本，进行保温厚度的经济最优化。
建筑物基础的地中传热
地板垫层（地面混凝土板）的地中传热也在ISO 13370中规定了基于形状係数的计算。
| 参数 | 影响 |
|---|---|
| 基础面积/周长比 | 比值越大，地中放热越少 |
| 保温材配置 | 基础外周部的保温最有效 |
| 地盘的 $k$ | 沙 1.5、粘土 1.0、泥炭 0.5 W/(m K) |
大建筑物比较有利。
面积按 $L^2$ 增长，周长按 $L$ 增长，所以大建筑物的周长单位面积较小，地中传热的相对影响较小。
形状係数的参考文献
形状係数详细一览在Incropera《传热与质量传递基础》的Table 4.1，或Bejan《传热》的Appendix中。特殊形状由Hahne & Grigull的文献充实。
教科书中没有的形状只能用FEM求？
是的。一旦用FEM求得 $S$，就可以作为设计公式进行数据库化，之后用手工计算。
地中埋设管道的热损失评价
北海道区域热供应的地中80cm埋设100A钢管年热损失约15 W/m。通过形状係数分析确定保温被覆的最适厚度为30mm，采用聚氨酯泡沫（k=0.027 W/m·K）后损失降至5 W/m以下的案例。
形状係数的软件对比
商用工具中的形状係数计算
用商用工具求形状係数怎样做？
任何FEM工具的基本步骤都相同。
| 工具 | 步骤 | 热流量的获取方法 |
|---|---|---|
| Ansys Mechanical | 获取T固定面的反力热流 | FSUM, PRRSOL |
| Abaqus | Output > Node > RFL11（反力热流） | History Output |
| COMSOL | Surface Integration > Total Heat Flux | Derived Values |
APDL实现示例
求地中埋设圆筒形状係数的APDL代码。
```
/PREP7
ET,1,PLANE55,,,1 ! 轴对称而非平面
MP,KXX,1,1.0 ! k=1（形状係数计算用）
! 半无限体用有限领域近似
RECTNG,0,5,0,-3 ! 5m宽 × 3m深
CYL4,0,-1.5,0.107,,,, ! 埋设圆筒（深1.5m, r=107mm）
ASBA,1,2 ! 差分
ESIZE,0.02
AMESH,ALL
/SOL
D,圆筒面NODE,,80 ! 管外面80℃
D,地表面NODE,,15 ! 地表15℃
! 侧面·底面绝热（默认）
SOLVE
*GET,Q,FSUM,,HEAT ! 全热流量
S_factor = Q / (1(80-15)) ! S = q/(kDT)
```
$k = 1$ 所以 $S = Q/\Delta T$。
与理论值 $S = 1.89$ m/m 比较验证。有限领域的大小是否充分（侧面的影响）也要确认。
地热设计专用工具
地热热泵的设计中使用专用工具。
| 工具 | 用途 |
|---|---|
| GLD (Ground Loop Design) | 钻孔热交换器的设计 |
| EED (Earth Energy Designer) | 地中热交换器的长期性能预测 |
| COMSOL Geothermal | 3D地中温度场的FEM分析 |
| FEFLOW | 考虑地下水流的地中传热 |
地下水流也会影响。
地下水流存在时，对流造成的热输送使形状係数大幅变化。不再是纯传导问题，需要用FEFLOW或COMSOL进行数值分析。
形状係数计算的CAE工具活用
Autodesk CFD 2025具有自动在后处理中输出地中埋设结构形状係数的功能。使用OpenFOAM的laplacianFoam求解器求定常热传导，然后用surfaceIntegrate命令积算热通量求S值的工作流也已确立。
形状係数的先端研究
复合形状的形状係数
教科书中没有的复杂形状怎样处理？
将复合形状分解为简单形状，利用叠加。L形的墙可以分解为直线部分和拐角部分，各部的形状係数相加。
拐角的形状係数由拐角角度和壁厚决定的修正值，教科书中有表。
像积木一样分解。
分解困难时直接用FEM计算。一旦求得 $S$，拟合成设计公式，就可用于参数化设计计算。
非定常问题的扩展
非定常问题中形状係数变为时间函数 $S(t)$。地中埋设管道的启动瞬间响应为
$\alpha$ 是地盘的温度扩散率，$\gamma = 0.5772$ 是欧拉常数。长时间后逐渐接近定常的 $S$。
地中温度场达到定常需要多久？
由管道尺寸和地盘热扩散率决定。通常是数天至数周。地热热泵可能需要数年。
各向异性介质的形状係数
地盘为层状结构（水平方向和竖直方向的 $k$ 不同）时，用坐标变换简化为各向同性问题。
变换后的各向同性介质（$k_{\text{eff}} = \sqrt{k_x k_y}$）中求形状係数，再变换回原坐标系。
用坐标缩放变换为各向同性，这很聪明。
地质的层状结构正是这种情况。水平方向的透水层通常 $k$ 比竖直方向大。
数值形状係数的提取手法
解析解不存在的复杂形状的形状係数可以用FEM数值提取。用FEM计算热流量q后，S=q/(kΔT)反推，在FENICS Project中实现此手法，对任意3D形状可在1小时以内获取S值。
形状係数的故障排除
常见问题与对策
形状係数计算要注意什么？
整理典型问题。
1. 有限领域大小的影响
问题：用FEM求解半无限体时，用有限领域截断。若领域过小，$S$ 被低估。
对策：将领域边界设在关心领域10倍以上距离处。将边界大小加倍，若 $S$ 变化在1%以内就充分了。
2. 形状係数适用条件的违背
教科书公式直接使用出错的情况。
列举常见误用。
| 公式 | 适用条件 | 常见误用 |
|---|---|---|
| 埋设圆筒 | $L \gg r$, $z > r$ | 短管（$L/r < 10$）适用 |
| 埋设球 | $z > r$ | 靠近地表的球（$z \approx r$）适用 |
| 2平行圆筒 | $d > r_1 + r_2$ | 圆筒接触时适用 |
3. 地盘物性的不确定性
地中传热最大的不确定性是地盘热物性。
| 地盘 | $k$ [W/(m K)] | 变动范围 |
|---|---|---|
| 干燥沙 | 0.3 | $\pm$50% |
| 湿润沙 | 2.0 | $\pm$30% |
| 粘土 | 1.0 | $\pm$40% |
| 岩盘 | 2.5 | $\pm$20% |
地盘的 $k$ 随含水量变化数倍。
现场实测TRT（热响应试验）最确实。对钻孔施加热负荷，从温度响应反推 $k$。地热热泵设计中是必要工程。
4. 叠加的限界
形状係数的叠加只对线性问题有效。含有辐射或温度依赖 $k$ 的情况不能使用叠加。
高温问题要特别注意。
此时只能直接用FEM求解。形状係数是概算工具，理解其限界后使用是重要的。
形状係数表的适用条件错误
Carslaw & Jaeger的形状係数表在各解析解的有效条件（z/D比等）处注明，但范围外应用可能导致超50%的误差。地中埋设管z/D<2的浅埋设时表的公式不适用，需要Moody修正公式或直接FEM分析。
价值
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错误