什么是海斯勒图？

用毕渥数和傅里叶数两个无量纲数表示平板、圆柱、球突然置于不同温度流体中时中心温度随时间变化的线图，由海斯勒于1947年发表。其来源是无穷级数的精确解，傅里叶数0.2以上时只取第一项就能很好地近似。

单项近似有多准确？

傅里叶数0.2以上时误差大约在1%以内。直径100 mm钢球水冷的例子中，Fo = 0.2时精确解0.439，单项近似0.443。而Fo = 0.05时单项近似甚至超过1，偏差很大，不能用于冷却初期的短时间。

与集总参数模型有何不同？

集总参数模型把整个物体视为一个温度，只适用于毕渥数小（约0.1以下）的情况。直径100 mm钢球水冷（毕渥数6.25）时，Fo = 0.2中心精确解为0.439，集总参数模型却给出0.024，严重误判中心已冷却。

海斯勒图

分类：热分析 | 2026-10-01 改写

CAE visualization for heisler charts theory - technical simulation diagram

海斯勒图表

理论：用无量纲数整理的精确解

概述

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淬火钢零件时，我想知道中心多少秒冷却下来。用教科书上的海斯勒图就行吗？

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如果形状接近平板、圆柱或球，换热系数可视为恒定，它正是合适的工具。海斯勒图是把导热方程的精确解（无穷级数）用毕渥数和傅里叶数两个无量纲数整理成的图。如今可以直接计算级数，不必读图，但理解其内容，就能判断何时用简单公式即可、何时需要详细分析。

无量纲温度、毕渥数与傅里叶数

$$ \theta = \frac{T - T_\infty}{T_i - T_\infty}, \qquad Bi = \frac{h L_c}{k}, \qquad Fo = \frac{\alpha t}{L_c^2} $$

$L_c$ 对平板取半厚，对圆柱和球取半径。毕渥数是物体内部导热阻力与表面散热能力之比，越大中心与表面温差越大。傅里叶数是无量纲时间。θ = 1为初始温度，0为流体温度。

级数解与单项近似

$$ \theta_0 = \sum_{n=1}^{\infty} C_n\,e^{-\zeta_n^2 Fo} \ \approx\ C_1\,e^{-\zeta_1^2 Fo}\quad (Fo > 0.2) $$

$$ \text{slab: } \zeta \tan\zeta = Bi, \qquad \text{sphere: } 1 - \zeta\cot\zeta = Bi, \qquad \text{cylinder: } \zeta\,\frac{J_1(\zeta)}{J_0(\zeta)} = Bi $$

$\zeta_n$ 为各形状特征方程的根，$C_n$ 为由此确定的系数。高阶项衰减更快，傅里叶数超过0.2时只取第一项就够了，海斯勒图画的正是这第一项。

Coffee Break 随笔闲谈

没有计算机时代的“图表计算机”

1947年美国海斯勒发表的这套线图，把求解特征方程、累加级数这种繁琐计算简化为读图。在钢的淬火、食品加热杀菌、混凝土养护等需要知道物体中心何时达到目标温度的场合广泛使用。此后又增加了求表面和中间位置温度、累计热量的图，加上格雷伯的改进版，至今仍出现在传热学教科书中。

算例：钢的淬火

钢（导热系数40 W/(m·K)，热扩散率1.17×10⁻⁵ m²/s）分别用油（换热系数500 W/(m²·K)）和水（5,000 W/(m²·K)）冷却。表中为中心无量纲温度θ（1为初始，0为冷却液温度）：

直径100 mm的球

冷却液	毕渥数	Fo	时间	精确解	单项近似	集总参数
油	0.62	0.05	11 s	0.998	1.084	0.911
油	0.62	0.20	43 s	0.842	0.846	0.687
油	0.62	1.00	214 s	0.225	0.225	0.153
水	6.25	0.05	11 s	0.987	1.290	0.392
水	6.25	0.20	43 s	0.439	0.443	0.024

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用水冷时，集总参数模型把中心温度估计得低多了。

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毕渥数高达6.25时，表面虽然很快冷却，但内部热量传到表面需要时间。集总参数模型忽略物体内部温差，把表面的快速冷却套用到整体：43秒时中心仍保留初始温差的44%，集总参数却说是2%。若要判断淬火能否使心部硬化，这是致命的差别。相反，单项近似从Fo = 0.2起就与精确解几乎相同；冷却开始后11秒（Fo = 0.05）时甚至超过1，短时间要增加级数项数计算。

平板与圆棒比较（Fo = 1.0）

形状	冷却液	毕渥数	时间	精确解	集总参数
平板厚40 mm	油	0.25	34 s	0.824	0.779
平板厚40 mm	水	2.50	34 s	0.325	0.082
圆棒直径50 mm	油	0.31	53 s	0.602	0.535
圆棒直径50 mm	水	3.12	53 s	0.055	0.002

即使是毕渥数0.25～0.3左右的油冷，与集总参数模型也相差5～7个百分点。“毕渥数0.1以下可用集总参数”这个参考标准，取决于能否接受这种偏差。

用法与局限

适用条件

形状：无限大平板、无限长圆柱和球。有限圆柱和长方体可用平板与圆柱解的乘积近似。
条件：初始温度均匀、环境温度和换热系数恒定、物性恒定。
时间：单项近似用于Fo > 0.2；更短时间要增加级数项或用半无限大物体解。

局限

实际淬火中，水的沸腾状态变化使换热系数随时间大幅改变（从膜态沸腾到核态沸腾），钢的物性也随温度变化。这种情况需要用数值分析求温度历程。海斯勒解至今仍可作为验证数值分析是否正确的基准。

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“数值分析与图表对不上”

为核算非稳态热分析而与海斯勒图比较，中心温度相差一成以上——常见原因有三：一是毕渥数、傅里叶数的特征长度取错（平板应取半厚而非全厚）；二是数值分析的时间步长或网格太粗，跟不上冷却初期的急剧温度变化；三是读图时的刻度误差，尤其傅里叶数小的区域难以读准。如今直接计算级数再比较最可靠。

常见错误

错误与对策

错误	后果	对策
特征长度取全厚	Bi、Fo偏差可达4倍	平板取半厚，圆柱和球取半径
Fo < 0.2用单项近似	偏差很大	增加级数项
毕渥数大却用集总参数	低估中心温度	确认Bi后用级数解
淬火时假设换热系数恒定	冷却曲线出错	计入沸腾变化的数值分析
依赖读图	读图误差	直接计算级数

🙋

我想自己计算非稳态导热。

🎓

可以用非稳态导热模拟器看非稳态温度变化，用一维导热工具试算一维导热。相关解见集总参数模型、半无限大物体和多维非稳态导热，无量纲数的含义见傅里叶数。