周期性加热问题
理论：边衰减边滞后传播的温度波
概述
常说地下室冬暖夏凉，这也能用导热计算解释吗？
能。地表温度按一天、一年的周期升降，这种变化以温度波的形式传入地下。波越深越小，而且滞后到达。所以稍深处变化就小，某些深度季节甚至颠倒。这一性质适用于墙体隔热与蓄热、发动机壁温度波动、地热利用等所有周期性进出热量的场合。我们以土壤为例，计算波能传多深、滞后多少。
半无限大体的周期解
$A$ 为表面温度振幅，$d$ 为穿透深度，$P$ 为周期。每深 $d$ 振幅变为 $1/e$，相位滞后1弧度（约周期的16%）。周期越长、热扩散率越大，传得越深。
表面热流
进出表面的热量振幅与蓄热系数 $\sqrt{k\rho c}$ 成正比，并比温度早1/8周期（45°）达到最大。蓄热系数大的材料，同样温度变化下进出的热量更多。
傅里叶与地下温度
傅里叶在1822年的《热的解析理论》中讨论了地表温度变化如何传入地下，指出年变化的波越深越弱、越滞后。他想通过地下温度观测了解地球内部的热。后来开尔文勋爵用同样的导热思路估算了地球年龄。如今这一周期解是地源热泵设计中估算地下温度的基础。
算例
例1：土壤中的日波与年波
热扩散率5×10⁻⁷ m²/s，导热系数1.0 W/mK。
| 项目 | 日变化 | 年变化 |
|---|---|---|
| 穿透深度 d | 0.117 m | 2.24 m |
| 振幅降到1%的深度 | 0.54 m | 10.3 m |
| 相位差半个周期的深度 | 0.37 m | 7.0 m |
| 10 cm深处振幅比 | 0.43 | 0.96 |
| 10 cm深处滞后 | 3.3 小时 | 62 小时 |
地表日变化振幅为10 K时，进出表面的热流振幅为121 W/m²。
例2：与数值解比较
把3 m深的土壤分成600份，表面施加振幅10 K的日变化10天，把最后一天与精确解比较。
| 深度 | 振幅（数值） | 振幅（精确） | 滞后（数值） | 滞后（精确） |
|---|---|---|---|---|
| 0.1 m | 4.258 K | 4.262 K | 3.25 小时 | 3.26 小时 |
| 0.3 m | 0.772 K | 0.774 K | 9.77 小时 | 9.77 小时 |
例3：发动机燃烧室壁
| 壁材料 | 穿透深度（2000 rpm，四冲程） | 衰减99%的深度 |
|---|---|---|
| 铝 | 1.15 mm | 5.3 mm |
| 钢 | 0.48 mm | 2.2 mm |
发动机里燃烧使温度剧烈变化，却几乎进不到壁里。
燃烧循环每秒约17次，速度很快，所以穿透深度在铝中约1 mm，在钢中只有0.5 mm。只有壁表面附近温度细微地上下变化，内部几乎保持恒定的平均温度。所以壁整体的热应力和冷却设计可以按时间平均热流考虑，但表面几毫米承受反复的热应变，成为热疲劳的原因。反之像土壤这样周期长达一年时，波能进入几米，地下7 m季节颠倒。同一个公式，因周期和材料不同，到达深度相差几个数量级。
分析要点
- 先算穿透深度，分析区域取其约5倍以上。
- 穿透深度内布置10个以上网格点。
- 计算几个周期直到周期性稳定，用最后一个周期评估。
- 时间步长取周期的约1/100以下。
- 有多个周期（日变化与年变化）时，可叠加考虑（线性问题）。
“不冻深度”
寒冷地区埋设水管和基础的深度，由冬季寒冷传入地下多深决定。根据土壤性质和冬季长短估算穿透深度，年波在2米多深处振幅降到约三分之一。实际冻结深度常因土中水分冻结时的潜热和积雪的隔热而更浅。各地规定的冻结深度正是依据这种导热思路和观测确定的。
常见错误
错误与对策
| 错误 | 后果 | 对策 |
|---|---|---|
| 区域太浅 | 底部边界产生影响 | 取5d以上 |
| 在初始过渡期评估 | 振幅与滞后算错 | 计算几个周期 |
| 网格粗 | 表面附近梯度算错 | d内10点以上 |
| 混淆周期与角频率 | d算错 | d = √(αP/π) |
| 忽略潜热（冻结） | 冻结深度算错 | 考虑相变 |
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