圆柱的自然对流
理论：圆柱周围形成的上升流
概述
工厂的热水管有一段保温材料脱落了。我想知道每米大概散失多少热量。
水平管周围，被加热的空气从管子下方绕过两侧向上离开，这就是圆柱的自然对流，换热系数由以直径为特征长度的瑞利数决定。不过在管道这样的温度下，辐射的作用也差不多大，关键是把两者加起来考虑。
Churchill–Chu 公式
物性按表面与环境的平均温度（膜温度）取值，理想气体 $\beta = 1/T_f$。一个公式就能覆盖从层流到湍流的广泛范围，因此是水平圆柱最常用的关联式。
加上辐射
用一个公式概括全部
自然对流关联式原本要按层流和湍流分别使用不同的公式。1975年，丘吉尔和朱系统地用幂次叠加把分别符合两端极限（极低和极高瑞利数）的公式平滑连接起来，给出了竖直平板和水平圆柱一个公式通用的形式。衔接处数值不跳变，便于设计计算和编程。如今常用的许多关联式，都是按这种“连接极限”的思路建立的。
算例：热水管散热与保温
裸管
外径60.3 mm 的管道，表面80℃，环境空气20℃。按膜温50℃的空气物性，$Ra_D \approx 8.5\times10^{5}$，$\overline{Nu}_D \approx 13.9$，对流换热系数约为6.4 W/(m²·K)。
| 表面 | 发射率 | 辐射换热系数 | 每米散热量 | 对流所占比例 |
|---|---|---|---|---|
| 涂装面 | 0.9 | 7.0 W/(m²·K) | 152 W/m | 48 % |
| 金属光亮面 | 0.1 | 0.8 W/(m²·K) | 82 W/m | 89 % |
涂装的裸管每米约散热150 W，若全年连续运行，每米约1,300 kWh。脱落部分若有10 m，相当于白白丢掉好几户家庭用电量的热。
包覆保温材料时
包覆25 mm 厚、导热系数0.04 W/(m·K) 的玻璃棉，外护层（发射率0.3）以自然对流和辐射散热，迭代求外护层表面温度，得散热约20.5 W/m，外护层表面约31℃。与涂装裸管相比，散热约减少87%。
临界半径：包覆反而增加散热的情况
给圆柱包覆保温材料，导热热阻增加，但外表面积也增大，表面热阻减小。外半径小于 $r_c = k/h$ 时后者占优，越厚散热越多。玻璃棉包管道时 $r_c \approx 4$ mm，不成问题；但用 PVC（$k = 0.16$）包覆的电线 $r_c \approx 13$ mm。取换热系数恒为12 W/(m²·K) 的简化计算，直径2 mm、比环境高40 K 的导体散热量如下：
| 包覆厚度 | 每米散热量 |
|---|---|
| 无 | 3.0 W/m |
| 0.5 mm | 4.3 W/m |
| 2 mm | 7.3 W/m |
| 5 mm | 10.0 W/m |
| 12 mm | 11.2 W/m |
| 30 mm | 10.4 W/m |
包覆后散热竟然提高到三倍以上！我还以为电线包覆只是为了绝缘。
细电线确实如此。不过实际上直径改变时换热系数也会变化，包覆材料还有耐热温度，所以这张表只是用来看趋势。确定电线的允许电流时，要使用包含这些效应的标准数值或详细计算。
CFD求解注意事项
分析设置
- 计算域大小：上升羽流在圆柱上方延伸很远，上方至少留直径的10倍以上，侧面和下方也要留数倍空间。区域太小，羽流会被边界顶回，换热系数随之改变。
- 边界层网格：温度边界层在圆柱下侧最薄。第一层网格要足够薄，使边界层内有若干层网格。
- 层流还是湍流：$Ra_D$ 约小于 $10^9$ 时按层流求解。对于弱自然对流，打开湍流模型可能产生过大的湍流黏性，使换热系数失准。
- 辐射：在管道温度下辐射可占散热的近一半，务必同时使用含表面发射率的辐射模型。
验证
先用不含辐射的二维模型，在几个温差下把平均努塞尔数与 Churchill–Chu 公式比较，10%左右以内即可认为设置合理。再加入辐射，与上表散热量比较。多根管道上下相邻时，下方管道的羽流会包住上方管道，单根圆柱的公式就不再适用，这一点要注意。
评估管道保温时的陷阱
分析保温效果时，常把保温材料的导热系数按样本值取为常数。但实际上玻璃棉、岩棉的导热系数会随温度升高而增大，吸潮后更大。室外管道若雨水从外护层接缝渗入，保温性能可能恶化数倍。分析得到的散热量比实测小得多时，先怀疑现场保温材料的状态，往往是捷径。
常见错误
错误与对策
| 错误 | 后果 | 对策 |
|---|---|---|
| 忽略辐射 | 涂装面散热被低估约一半 | 加入发射率并叠加辐射 |
| 用管长作特征长度 | 瑞利数相差数量级 | 水平圆柱用直径 |
| 对竖直管用水平圆柱公式 | 流动形式不同导致误差 | 使用竖直平板公式（管径较大时） |
| 认为细电线包覆就是隔热 | 临界半径以下反而增加散热 | 比较外半径与 $r_c = k/h$ |
| 对成排管道用单根公式 | 高估上方管道散热 | 用CFD或管群关联式评估 |
我想自己改变条件算一算。