瑞利-贝纳尔对流
理论：静止还是对流
概述
用小火加热一锅水，底部变热的水并不会马上上升。是有什么触发条件吗？
有的。下热上冷的流体层是“重的在上”的不稳定状态，但黏性和热扩散起着刹车作用，温差小时流体保持静止，热量只靠导热传递。一旦浮力胜过刹车，流体就形成滚动状的涡，同时开始运动。决定这个分界的是瑞利数，上下均为固体壁时约为1708。这就是瑞利-贝纳尔对流。
瑞利数与临界值
| 上下边界 | 临界瑞利数 | 临界波数 $a_c$ |
|---|---|---|
| 固壁—固壁 | 1707.8 | 3.117 |
| 固壁—自由面 | 1100.7 | 2.682 |
| 自由面—自由面 | 657.5 | 2.221 |
$H$ 为层厚，$\Delta T$ 为上下温差。临界点出现的滚动单元波长约为 $2H$，即一个滚动单元的宽度约等于层厚。瑞利数与 $H^3$ 成正比，层厚加倍则增大8倍。
贝纳尔的六边形并非浮力所致
1900年，法国的亨利·贝纳尔报告说，加热的薄液层表面出现了整齐的六边形图案。1916年瑞利勋爵从浮力不稳定性建立了理论，这一现象便以两人命名。然而贝纳尔的实验是上表面与空气接触的极薄液层，后来的研究（1958年皮尔逊等）表明，主要原因是随温度变化的表面张力差（马兰戈尼效应）。这是名称与实质一直对不上的少见例子。
算例：空气层厚度与热流
空气层的努塞尔数
对下面为高温的水平空气层，常用 Hollands 等（1975）的关联式（$[\,]^+$ 表示为负时取0）：
300 K 空气（$\nu = 1.59\times10^{-5}$ m²/s、$\alpha = 2.25\times10^{-5}$ m²/s、$k = 0.0263$ W/(m·K)），上下温差10 K 的结果：
| 厚度 | Ra | Nu | 热流 |
|---|---|---|---|
| 5 mm | 114 | 1.00 | 52.6 W/m² |
| 10 mm | 915 | 1.00 | 26.3 W/m² |
| 15 mm | 3,087 | 1.64 | 28.8 W/m² |
| 20 mm | 7,317 | 2.18 | 28.7 W/m² |
| 30 mm | 24,695 | 2.96 | 25.9 W/m² |
| 50 mm | 114,328 | 4.12 | 21.6 W/m² |
15 mm 比10 mm 散热还多！我还以为越厚越隔热。
只有导热时，热流与厚度成反比；但在该条件下约12 mm 开始对流，加厚的效果几乎被抵消。双层玻璃和隔热板的空气层之所以存在“最佳厚度”，原因就在这里。不过像窗户那样的竖直层，对流的形成方式不同，应使用封闭空间自然对流的关联式。
水更容易对流
20℃ 的水（$\nu = 1.0\times10^{-6}$ m²/s、$\alpha = 1.43\times10^{-7}$ m²/s、$\beta = 2.07\times10^{-4}$ 1/K）、厚50 mm 的层，温差仅1 K 时瑞利数就约为 $1.8\times10^{6}$，是临界值的1000倍。对储罐中的液体或电池冷却液假设“温差很小所以静止”是危险的。
流动随瑞利数的变化
| 瑞利数参考 | 流动 |
|---|---|
| 低于1708 | 静止，仅导热（Nu = 1） |
| 1708～数万 | 定常二维滚动单元 |
| 约10⁴～10⁶ | 滚动单元三维化并随时间波动 |
| 更高 | 湍流：上下壁附近的薄热边界层及从中脱离的羽流 |
分界值随流体的普朗特数和容器长宽比而变，表格仅作参考。
在CFD中正确再现
分析设置要点
- 浮力模型：温差小时用 Boussinesq 近似即可，参考条件是 $\beta\Delta T$ 远小于0.1；超过时应把密度作为温度的函数处理。
- 初始扰动：初始温度完全均匀且几何对称时，数值解可能一直停留在导热状态。应在初始温度中加入约0.1%的微小随机扰动。
- 按时间推进求解：明显超过临界值后流动随时间波动，稳态计算要么不收敛，要么偶然停在某一状态。应做非稳态计算，并评价足够长时间内平均的努塞尔数。
- 横向范围：滚动单元宽度约等于层厚，计算域横宽会决定能容纳几个单元。使用周期边界，或让横宽达到层厚的数倍以上。
分辨热边界层的网格
热量通过上下壁附近的薄热边界层传递，这里没有网格就会算错努塞尔数。参考做法是向壁面加密，使上式估算的 $\delta_T$ 内包含若干个网格。$Nu = 10$ 时，$\delta_T$ 只有层厚的5%。
验证方法
- 在临界值附近（例如 Ra = 1500 与 2000）求解，确认1500时流动衰减、回到 Nu = 1，2000时对流增长。
- 在 Ra = $10^4$～$10^5$ 时，把时间平均努塞尔数与上述关联式比较，10～20%以内属合理范围。
- 确认加密网格后努塞尔数不再变化，再进入实际几何。
天气预报中的混沌由此开始
1963年，气象学家爱德华·洛伦兹在研究一个把瑞利-贝纳尔对流极度简化的三变量微分方程组时，发现初值的微小差异会使结果完全不同。这促成了以“蝴蝶效应”闻名的混沌的发现。对流CFD在相同条件下每次计算的瞬时流动形态看起来不同，并不是缺陷，而是这种性质所致。应比较的不是瞬时形态，而是时间平均量。
常见错误
错误与对策
| 错误 | 后果 | 对策 |
|---|---|---|
| 从完全均匀的状态开始求解 | 超过临界值也不出现对流 | 在初始温度中加入微小扰动 |
| 加热面朝上仍用同一关联式 | 属稳定分层，不发生对流，高估换热 | 上面加热按导热（Nu ≈ 1）处理 |
| 对竖直层使用水平层关联式 | 对流形成方式不同，误差大 | 使用含长宽比的封闭空间关联式 |
| 直接采用稳态计算结果 | 只捕捉到波动流动的某一个状态 | 做非稳态计算并取时间平均 |
| 壁面附近网格过粗 | 努塞尔数严重偏离 | 在 $\delta_T$ 内布置若干网格 |
我想改变参数看看对流是怎么开始的。
用对流单元模拟器改变温差和层厚，就能找到滚动单元出现的分界。无量纲数的关系见格拉晓夫数模拟器和格拉晓夫数与瑞利数，表面换热系数的估算可用自然对流换热系数计算工具。洛伦兹发现的混沌可以用洛伦兹吸引子模拟器体验。
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