蒙特卡罗辐射分析
理论：计数光线求辐射
概述
蒙特卡罗法用随机数吧？这样能得出准确答案吗？
发射足够多的光线就能得出。但误差只随光线数平方根减小，精度越高计算越重。作为交换，形状再复杂、性质随波长或方向变化、气体吸收散射光，都能用追踪光线这一相同步骤处理。我们用有精确解的两块圆盘之间的角系数和吸收层的透射率，确认蒙特卡罗法吻合到什么程度、随光线数如何变化。
角系数与统计误差
在表面1上均匀选点，方向按余弦分布选取以符合漫射辐射（$R$为0～1均匀随机数）。打到表面2的比例就是角系数。命中与否服从二项分布，离散为 $\sqrt{F(1-F)/N}$。
吸收层
$s$ 为被吸收前的距离，由吸收系数κ的指数分布抽样。漫射光包含斜向光线，路径更长，所以比平行光更难透过。
从洛斯阿拉莫斯到热辐射
蒙特卡罗法是1940年代乌拉姆、冯·诺伊曼等人在美国洛斯阿拉莫斯为计算中子运动而提出的方法，名字取自以赌场闻名的摩纳哥地区。1960年代豪厄尔等人把它应用于热辐射，用于计算形状复杂的炉子和航天器的辐射。如今电影计算机图形学也用同样的光线追踪思路计算光照。
算例
例1：相对圆盘之间的角系数
半径1、间距1的两块同轴圆盘，精确值0.38197。每种光线数换随机种子各算10次。
| 光线数 | 平均 | 标准差 | 理论标准差 |
|---|---|---|---|
| 100 | 0.3710 | 0.0671 | 0.0486 |
| 1,000 | 0.3876 | 0.0122 | 0.0154 |
| 10,000 | 0.3829 | 0.0038 | 0.0049 |
| 100,000 | 0.3820 | 0.0012 | 0.0015 |
| 1,000,000 | 0.3819 | 0.0006 | 0.0005 |
例2：吸收层透射率
| 光学厚度 κL | 平行光 MC | exp(−κL) | 漫射光 MC | 2E₃(κL) |
|---|---|---|---|---|
| 0.1 | 0.9045 | 0.9048 | 0.8323 | 0.8326 |
| 1 | 0.3678 | 0.3679 | 0.2185 | 0.2194 |
| 3 | 0.0503 | 0.0498 | 0.0180 | 0.0179 |
各用20万条光线计算。
要100万条光线才能让小数点后第四位稳定，挺费劲的。
这正是蒙特卡罗法的弱点：误差减到十分之一，光线要增加100倍。但无论形状多复杂、表面多少，误差下降方式都不变。与表面数增加时角系数矩阵急剧变大的方法相比，问题越复杂越有利。实际中按所需精度（例如热流1%）确定光线数参考值，把数量加倍、四倍确认结果稳定。降低方差的技巧（重要性抽样、利用互易关系）能在同样光线数下提高精度。
分析要点
- 先用有精确解的简单形状确认代码。
- 光线数逐次加倍，确认离散按1/√N减小。
- 用互易关系A₁F₁₂ = A₂F₂₁和完整性ΣF = 1检查结果。
- 小表面或不易命中的表面误差大，要重点分配光线。
- 记录随机数质量和种子，保证结果可复现。
“小传感器温度结果不稳定”
某炉子辐射分析中，壁上小温度传感器的计算温度每次计算都相差几十K。传感器面积与整个炉子相比非常小，打到它的光线寥寥无几。改用向传感器多发射光线、相应减小权重的重要性抽样后，同样计算时间下离散缩小到几K。蒙特卡罗法需要确认关注的位置有足够的光线到达。
常见错误
错误与对策
| 错误 | 后果 | 对策 |
|---|---|---|
| 方向按均匀分布选取 | 不符合漫射辐射 | 用余弦分布 |
| 光线数太少 | 结果离散 | 按1/√N确定 |
| 光线到不了小表面 | 局部误差 | 重要性抽样 |
| 不检查互易关系 | 漏掉缺陷 | 用总和与互易检查 |
| 不固定随机种子 | 无法复现 | 记录种子 |
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