圆管内层流（哈根-泊肃叶流）
理论：抛物线速度分布
概述
我想用简单问题确认新引进的CFD软件设置是否正确。用什么好？
推荐圆管内层流，即哈根-泊肃叶流。充分发展的层流中，速度呈抛物线分布，壁面为0，中心为平均流速的2倍，压降和管道摩擦系数都能用公式准确求得。几何简单，却能一并确认边界条件设置、黏性处理和近壁网格的影响。连“入口段在哪里结束”都有公式，还能用来确认计算域长度。
精确解
$U$ 为截面平均流速，$R$ 为半径，$D$ 为直径，$\mu$ 为黏度，$Re = \rho U D/\mu$。壁面剪应力直接由一段管道的力平衡（压力＝壁面摩擦力）确定。
入口段
从入口到流动充分发展所需的长度：Re = 100时约为直径的5倍，1,000时约50倍，2,000时约100倍。验证时要在此长度下游的位置与精确解比较。
源于血管和水管的定律
这一流动定律由德国工程师哈根于1839年通过水管实验、法国医生泊肃叶于19世纪40年代通过研究毛细管中血液流动的实验各自独立发现。其特点是流量与管径的四次方成正比，这也解释了为什么血管稍微变细血流就大幅减少。黏度单位“泊”就是纪念泊肃叶的。后来其理论推导被整理为纳维-斯托克斯方程最基本的精确解。
算例：径向有限体积法
用有限体积法求解充分发展流动的径向方程，求出网格数为5、10、20、40分时的误差：
| 分割数 | 中心速度误差 | 壁面剪应力（取自通量） | 壁面剪应力（二次拟合） |
|---|---|---|---|
| 5 | 1.00% | 0（精确） | 6.7% |
| 10 | 0.25% | 0（精确） | 3.3% |
| 20 | 0.063% | 0（精确） | 1.7% |
| 40 | 0.016% | 0（精确） | 0.83% |
取自通量的壁面剪应力，5分时误差也是0？
对，这得益于有限体积法的“守恒”性质。每个单元都按流入流出平衡求解，全域累加后壁面通量正好与驱动的压力平衡，所以网格再粗，总摩擦力也是对的。而用单元速度值拟合二次式求壁面斜率，相当于把速度误差（网格间距平方量级）除以网格间距，降为一阶精度——这就是表中右列网格每减半误差只减半的原因。后处理提取壁面剪应力时，要用求解器实际使用的通量值。
例2：压降核算
内径10 mm的管中水（20 ℃）以平均0.1 m/s流动，Re ≈ 1,000为层流。1 m长压降为32 Pa，管道摩擦系数0.064（= 64/Re）。入口段约为直径的50倍（0.5 m），所以用CFD比较时管长要在1 m以上，并在靠近出口的下游读取压力梯度。
验证步骤
- 入口给均匀流速，出口给恒定压力，壁面无滑移；或用周期边界只求解充分发展流动。
- 在入口段下游，把速度分布、压力梯度、壁面剪应力与精确解比较。
- 用三级以上网格确认误差减小方式。
- 三维管道中截面网格（如O型划分）的差异也会改变结果，要确认截面网格质量。
“压降多出一成”
验证管道压降时结果比精确解大一成左右——常见原因是用入口到出口的总压差比较。入口附近速度分布从平直发展为抛物线，这段入口段的压损比充分发展流动大；Re = 1,000、长100倍直径的管子，有一半受入口段影响。用下游充分发展段的压力梯度比较，就与精确解吻合得很好。验证时，“在哪里、与什么比较”必须与解的前提条件一致。
常见错误
错误与对策
| 错误 | 后果 | 对策 |
|---|---|---|
| 包含入口段比较 | 高估压降 | 在充分发展段比较 |
| 用单元值拟合求壁面剪应力 | 降为一阶精度 | 使用求解器的通量 |
| 只用一套网格判断 | 无法确认阶数 | 三级以上网格 |
| Re过高 | 变为湍流，精确解不适用 | 在Re约2,000以下验证 |
| 管长不够 | 没有充分发展段 | 长于0.05 Re D |
我想了解其他验证用的问题。