プレーナ変圧器
理論：表皮効果と近接効果
概要
プレーナ変圧器の巻線が予想以上に熱くなります。銅箔を厚くすれば解決しますか？
周波数が高いと、電流は導体の表面近くにしか流れない（表皮効果）。さらに、巻線が何層も重なっていると、ほかの層が作る磁界で電流が導体の片側に押しやられる（近接効果）。層の間の磁界は、1次の層を全部重ねてから2次を重ねると、層を重ねるごとに強くなる。この磁界の中で厚い銅箔を使うと、電流の偏りがひどくなり、厚くしたのに抵抗が上がることさえある。だからまず、巻線の並べ方で層の間の磁界を小さくし、そのうえで表皮深さに合った厚さを選ぶ。これをまとめて計算できるのがドーウェルの式だ。
ドーウェルの式
h は銅箔の厚さ、δ は表皮深さ、m は起磁力が0から最大まで増える間にある層の数（1次と2次を分けて4層ずつ重ねると m = 4、交互に重ねると m = 1）。
表皮深さと漏れ磁界のエネルギー
ρ は銅の抵抗率（1.72×10⁻⁸ Ω·m）。漏れインダクタンスは、層の間の起磁力 F の2乗の和に比例するとした。
ドーウェルの1966年の論文
ドーウェルは1966年、変圧器の巻線の層を平らな板とみなして、表皮効果と近接効果をまとめた交流抵抗の式を導いた。丸い線の巻線にも、断面積の等しい板に置き換えて使われ、高周波の変圧器やインダクタの設計の基本になっている。プレーナ変圧器は巻線がもともと平らな銅箔なので、ドーウェルの仮定によく合う。ただし層の幅がコアの窓いっぱいに広がっていない場合や、層の端では2次元の効果が出るので、精密には有限要素法で確かめる。
計算例
例1：交流抵抗と直流抵抗の比 F_R（500 kHz、表皮深さ93 μm）
| 銅箔の厚さ | h/δ | 分けて重ねる（m = 4） | 半分交互（m = 2） | 交互（m = 1） |
|---|---|---|---|---|
| 35 μm | 0.37 | 1.03 | 1.01 | 1.00 |
| 70 μm | 0.75 | 1.55 | 1.13 | 1.03 |
| 140 μm | 1.50 | 8.38 | 2.78 | 1.38 |
1 MHz（表皮深さ66 μm）では、70 μmで3.11 / 1.51 / 1.11、140 μmで20.7 / 5.77 / 2.04。100 kHz（209 μm）では140 μmでも1.35 / 1.08 / 1.02にとどまる。
例2：巻線の並べ方と漏れ磁界（1次4層・2次4層）
| 並べ方 | 起磁力の最大値 | 漏れ磁界のエネルギー（相対） |
|---|---|---|
| PPPPSSSS | 4 | 1.000 |
| PPSSPPSS | 2 | 0.273 |
| PSPSPSPS | 1 | 0.091 |
140 μmにすると直流抵抗は半分なのに、分けて重ねた配置では実際の抵抗が増えてしまうんですね。
実際の抵抗は直流抵抗に F_R をかけたものなので、厚さに反比例する直流抵抗と F_R の両方を見る必要がある。70 μmを基準にすると、分けた配置では140 μmで 8.38/2 ÷ 1.55 ≒ 2.7 倍に増える。一方、交互に重ねると F_R は1.38にとどまり、厚くした分だけ抵抗は 1.38/2 ÷ 1.03 ≒ 0.67 倍に下がる。つまり厚い銅箔が効くかどうかは、並べ方で決まる。交互に重ねると漏れインダクタンスも約11分の1になり、スイッチング時の電圧の跳ね上がりも小さくなる。ただし1次と2次が近づくので巻線間の静電容量が増え、コモンモードのノイズが流れやすくなる。共振形の電源では漏れインダクタンスを回路の部品として使うこともあるので、目的に合わせて並べ方を決める。
設計と解析の進め方
- 動作周波数の表皮深さを求め、銅箔の厚さの候補を決める。
- 巻線の並べ方ごとに起磁力の分布を描き、m を決める。
- ドーウェルの式で交流抵抗を求め、電流の高調波ごとの損失を足し合わせる。
- 2次元・3次元の有限要素法で、層の端やコアのギャップ付近の損失を確認する。
- 漏れインダクタンスと巻線間容量を測定し、回路の要求と比べる。
「銅を厚くしたら熱くなった」
ある500 kHzの電源で、プレーナ変圧器の温度を下げようと、基板の銅箔を70 μmから140 μmに変えたところ、巻線の温度はかえって上がった。巻線は1次4層の下に2次4層を重ねた配置だった。ドーウェルの式で計算すると、交流抵抗は約2.7倍に増えていた。1次と2次を交互に重ねる配置に変えると、140 μmの銅箔で抵抗は70 μmのときの約3分の2になり、温度は目標を下回った。
よくある間違い
間違いと対策
| 間違い | 起きること | 対策 |
|---|---|---|
| 直流抵抗で損失を計算 | 損失を過小評価 | ドーウェルで F_R |
| 並べ方を考えず厚くする | 抵抗が増える | 交互配置と組み合わせる |
| 基本波だけで計算 | 高調波損失を見逃す | 高調波ごとに足す |
| 巻線間容量を無視 | コモンモードノイズ増加 | 容量も評価 |
| ギャップ近くの損失を無視 | 局所的な過熱 | 有限要素法で確認 |
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