キャビティ流れ（蓋駆動）

その通り。正方形キャビティの上面（蓋）を一定速度で水平にスライドさせる問題だ。幾何形状が単純で境界条件も明確、しかもRe数を変えると豊かな流れ構造が現れる。Ghia et al. (1982) のベンチマークデータが40年以上にわたって使われ続けている。

正方形キャビティ（一辺 $L$）の上壁面が速度 $U$ で $x$ 方向に移動する。他の3壁面は静止。支配方程式は非圧縮Navier-Stokes方程式だ。

無次元パラメータは $Re = UL/\nu$ の一つだけだ。境界条件は、

以下のように整理できる。

そうだ。Moffatt (1964) が理論的に示したように、鋭角コーナーでは無限の渦列が存在する。各渦の強度は幾何級数的に減少する。CFDでは最初の2〜3個の渦が解像できれば十分だが、メッシュをコーナーに向けて細かくする必要がある。

2D非圧縮流では渦度-流れ関数定式化が連続の式を自動的に満たすため効率的だ。

ただし3Dや可変密度流れへの拡張が困難なので、汎用CFDコードでは速度-圧力定式化（primitive variable formulation）が標準だ。

良い指摘だ。蓋の角（$(0,L)$ と $(L,L)$）では速度が不連続になる。$u = U$（上壁面）と $u = 0$（側壁面）が同時に成立しない。これは数学的な特異点であり、メッシュを細かくしても解が収束しない。

実務的な対処法は、

キャビティ流れは閉じた領域で入口も出口もないという特殊性がある。圧力の絶対値が一意に決まらないため、参照圧力を1点で固定する必要がある。

キャビティ流れでのSIMPLE反復は以下の通りだ。

キャビティ流れでは入口出口がないため、圧力の基準を1点（例えば左下角のセル）で固定する。OpenFOAM では p の fvSolution で reference cell と reference value を指定する。

LBM は cavity flow の入門として非常に人気がある。D2Q9 モデル（2次元9速度）で、BGK衝突演算子を使えば簡単に実装できる。

緩和時間 $\tau$ と動粘度の関係は $\nu = c_s^2 (\tau - 0.5) \Delta t$ で、$c_s = 1/\sqrt{3}$（格子音速）だ。上壁面の移動は Zou-He 境界条件で実装する。

そうだ。LBM は陽的手法なので反復が不要で、並列化も容易だ。ただし、高Re数では数値安定性に注意が必要で、MRT（Multi-Relaxation Time）モデルや正則化手法が使われる。

比較対象は2つだ。

Ghia et al. は $129 \times 129$ の均一格子で Re = 100, 400, 1000, 3200, 5000, 7500, 10000 のデータを tabulate している。これらの離散点の値と自分のCFD結果を比較して、相対誤差が $1\%$ 以内であれば良好だ。

OpenFOAM を例に説明しよう。

Re数によって必要な解像度が変わる。

その通り。壁面近傍とコーナー部にメッシュを集中させると、同じセル数でも精度が向上する。blockMeshDict の simpleGrading で壁面方向にストレッチをかける（grading ratio 5〜10）のが効果的だ。

Ghia et al. (1982) の Re = 1000 データから主要な値を示す。

特に $y \approx 0.05$ 付近の負の $u$（$\approx -0.25$）は、底壁面近くの再循環を表している。この値が合えば、下部コーナー渦の構造が正しく解像できている証拠だ。

3Dではスパン方向（$z$方向）の端壁面効果が加わる。Koseff & Street (1984) の実験が有名だ。2Dでは定常な Re = 3200 が、3Dでは非定常になることが知られている。

3D cavity の臨界 Re はスパン方向のアスペクト比に依存するが、SAR (Span Aspect Ratio) = 3 の場合、Re $\approx 800$ で3D不安定性が発現する（Albensoeder & Kuhlmann 2006）。

ベンチマーク問題としてはどのツールでも解けるが、教育・学習目的での使いやすさに差がある。

OpenFOAM の入門チュートリアルとして $FOAM_TUTORIALS/incompressible/icoFoam/cavity/cavity が提供されている。$20 \times 20$ の粗い均一格子で Re = 10 のキャビティ流れを解く。

これをベンチマーク用に拡張するには、

Fluent の場合は以下の手順だ。

COMSOL では数クリックで設定できる。

その通り。同じ問題を OpenFOAM, Fluent, COMSOL で解いて結果を比較するのは、各ツールの特性を理解する良い方法だ。離散化スキームの影響もよく分かる。

定常解を基底状態として微小擾乱の成長率を調べる。時間発展法（DNS で擾乱のパワー法的成長を追跡）またはグローバル安定性解析（一般化固有値問題を解く）が使われる。

2Dキャビティの Hopf 分岐は Re $\approx 8000\text{--}8500$ で起こる（Fortin et al. 1997、Bruneau & Saad 2006）。この値は格子解像度に敏感で、Re = 8000 とも 8500 とも報告されている。3Dの場合は、centrifugal instability（Taylor-Goertler 型）が Re $\approx 800\text{--}1000$ で現れる。

正則化（regularized）lid-driven cavity では、蓋の速度を角に向かってスムーズにゼロに遷移させる。例えば、

この正則化により角の特異性が消え、メッシュ収束性が改善する。高精度ベンチマーク（Botella & Peyret 1998 のスペクトル法解など）ではこの正則化が使われている。

以下の研究がより高精度な参照解を提供している。

スペクトル法の指数的収束の威力だ。ただし正則化された lid-driven cavity での結果なので、特異点がある場合のGhia データとは直接比較できないことに注意。

サロゲートモデルの構築やPINN（Physics-Informed Neural Networks）の検証に頻繁に使われている。

損失関数にNS方程式の残差を含めるので、原理的にはデータなしで解ける。ただし、実際には境界条件のデータが必要だし、高Re数では収束が困難だ。cavity flow はRe $\leq 1000$ 程度でPINNの動作を確認するのに適した問題だ。

確認ポイント:

原因: collocated配置（速度と圧力を同じ格子点に配置）で Rhie-Chow 補間が不適切な場合に起こる。

Re > 5000 では非線形性が強く、SIMPLE法の収束が遅くなる。

いわゆる parameter continuation だ。Re=100 → 400 → 1000 → 3200 → 5000 → 10000 と段階的に上げる。各段階で前段の解を初期条件にする。

Moffatt 渦は幾何級数的に小さくなるので、均一格子では解像が困難だ。

Re > 800 程度では3D不安定性（Taylor-Goertler渦）が発現するので、3Dの結果が2Dと異なるのは物理的に正しい。

その通りだ。cavity flow は「簡単な問題」と思われがちだが、高Re数での分岐現象、コーナー特異性、3D不安定性など、数値流体力学の本質的な問題を含んでいる。だからこそ40年以上にわたってベンチマーク問題として使われ続けているんだ。