耦合问题的收敛性
理论：迭代收敛由耦合强度决定
概述
电-热耦合分析迭代很难收敛，是设置的问题吗？
多数情况下是问题本身的性质而非设置。通电发热温度升高，温度升高电阻增大，发热进一步增加。交替求解电和热时，这一影响每往返一次误差只按一定比例（q）减少。q小时很快收敛，接近1时要几百次，超过1就发散。而且q超过1有时并非计算失败，而是物理上不存在平衡温度（热失控）。所以不收敛时，首先估算耦合强度，区分是数值问题还是物理问题。用简单的电热丝模型确认一下。
电热丝的平衡
G为冷却热导（0.05 W/K），R₀为20℃时电阻（0.1 Ω），α为电阻温度系数（铜为0.0039 /K），T₀ = 20℃。热失控电流约11.3 A。
皮卡法与牛顿法
灯泡灯丝与热失控
电阻随温度升高的金属发热体，在电压恒定下使用时，温度升高电流减小，自然稳定。白炽灯能稳定发光就是这个原因。但以恒定电流供电时，温度越高发热越多，超过冷却后就停不下来。有些半导体器件温度升高电流增加，早就知道并联器件中电流集中到其中一个导致损坏的热失控现象。耦合分析也用于找出这类稳定与不稳定的分界。
算例
例：电流与收敛速度（从20℃开始，温度变化10⁻⁶ K视为收敛）
| 电流 | 耦合强度 q | 平衡温度 | 皮卡法 | 牛顿法 |
|---|---|---|---|---|
| 5 A | 0.195 | 82 ℃ | 12 次 | 2 次 |
| 8 A | 0.499 | 276 ℃ | 28 次 | 2 次 |
| 10 A | 0.780 | 929 ℃ | 78 次 | 2 次 |
| 11 A | 0.944 | 4,326 ℃ | 335 次 | 2 次 |
| 11.5 A | 1.032 | 无解（热失控） | 发散 | −8,364℃（非物理） |
10 A以上的温度实际上会使导线熔化，电阻温度系数也不是常数，这里为观察收敛性质仍用同一公式。松弛系数0.5的皮卡法，10 A时160次、11 A时654次，反而更慢。
牛顿法2次就收敛了，在热失控条件下也给出了答案。
本例方程对温度是一次的，牛顿法一步就到达精确解（第二次是确认）。但11.5 A时方程的数学解是负温度。公式上没错，物理上却不存在。牛顿法会报告“已收敛”，如果没有温度范围等物理检查，就会直接使用这个答案。而皮卡法的发散如实反映了问题的性质（无解）。另外减小松弛系数反而使收敛变慢，是因为本例误差同向递减（q为正），松弛只起制动作用。误差振荡时松弛才有效。无论用哪种方法，都要养成确认结果物理上合理、解是否存在的习惯。
使其收敛的流程
- 估算耦合强度（往返一次误差变为几倍）。
- 弱耦合用交替迭代，强耦合选牛顿法或整体式解法。
- 收敛判断同时看变化量和残差。
- 加入温度、压力范围等物理合理性检查。
- 不收敛时，怀疑是否为无解条件（热失控、屈曲等）。
“收敛的分析结果与试验不符”
某电源板走线发热分析中，大电流条件下计算顺利收敛，走线温度在允许范围内。但试验中在该电流下走线烧毁了。调查发现分析中牛顿法迭代过程中温度超出材料数据范围，电阻被外推得偏小，结果以不自然的低温“收敛”。准备到高温的材料数据，并加入超过温度上限就停止计算的检查后，才发现该电流下不存在平衡温度（热失控）。
常见错误
错误与对策
| 错误 | 后果 | 对策 |
|---|---|---|
| 收敛就认为正确 | 使用非物理解 | 物理检查 |
| 把发散归为数值问题 | 漏掉热失控 | 确认解是否存在 |
| 总是加强松弛 | 收敛变慢 | 观察误差行为 |
| 超出材料数据外推 | 电阻和热物性出错 | 到高温的数据 |
| 只按变化量判断收敛 | 把缓慢变化误认为收敛 | 也确认残差 |
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