热膨胀系数梯度设计（功能梯度材料）
理论：膨胀差产生的应力
概述
我把陶瓷板钎焊到金属上，冷却时开裂了。应该怎么设计？
高温接合后冷却，金属比陶瓷收缩得多。氧化铝与镍的热膨胀系数相差约5×10⁻⁶ /K，冷却500 K会产生0.26%的应变差，这在界面处被突然承受，所以产生很大应力。对策之一是功能梯度材料（FGM）：在中间插入成分逐渐变化的层，让热膨胀系数平缓过渡。但如果不通过计算确认能降低什么、不能降低什么，结果可能令人失望。
层合板方程
自由板冷却时，应变沿厚度方向线性分布（伸长 $\varepsilon_0$ 和曲率 $\kappa$），由合力和合力矩为零确定。由于两个方向同样收缩，用 $E/(1-\nu)$ 代替杨氏模量。
梯度层内，金属体积分数 $V_m$ 沿厚度变化，物性按混合律平均（简单近似）。$p = 1$ 为线性，$p < 1$ 偏金属，$p > 1$ 偏陶瓷。
源于航天飞机热防护的概念
功能梯度材料的构想于20世纪80年代中期在日本诞生，源于以航天往返飞机机体为目标的研究。用陶瓷与金属组合制造外侧超过1,700 ℃、内侧冷却、温差达1,000 K以上的部件时，接合面剥离成为问题。于是产生了让成分连续变化、消除界面本身的想法。此后扩展到热障涂层、切削刀具和生物材料等领域。
算例：氧化铝与镍的接合
把氧化铝（E 380 GPa、ν 0.22、α 8.1×10⁻⁶ /K）与镍（E 200 GPa、ν 0.31、α 13.3×10⁻⁶ /K）板接合并冷却500 K。用上面的层合板方程比较直接接合（各1 mm）与各0.75 mm中间插入0.5 mm梯度层的情况（弹性，不考虑端部影响）。
| 构成 | 界面应力突变（最大） | 陶瓷侧界面 | 陶瓷表面 | 翘曲（50 mm） |
|---|---|---|---|---|
| 直接接合 | 991 MPa | −590 MPa | +342 MPa | 0.60 mm |
| 梯度层1级 | 584 MPa | −396 MPa | +266 MPa | 0.57 mm |
| 3级 | 323 MPa | −389 MPa | +293 MPa | 0.58 mm |
| 9级 | 136 MPa | −385 MPa | +303 MPa | 0.59 mm |
| 连续（p = 1） | ≈ 0 | −382 MPa | +308 MPa | 0.59 mm |
| 连续（p = 2） | ≈ 0 | −328 MPa | +348 MPa | 0.58 mm |
突变降得很漂亮。但陶瓷表面的拉应力没降，翘曲也一样？
这正是关键。翘曲和表面应力取决于整块板中高膨胀与低膨胀材料分布的上下不对称程度。梯度层只是让过渡平缓，几乎不改变这种上下不对称，所以弯曲程度几乎相同。梯度层起作用的是界面处的突变——剥离的原因。而且像p = 2那样偏陶瓷时，界面压应力减小，表面拉应力却从342升到348 MPa。氧化铝的弯曲强度约300～400 MPa，如果问题是表面开裂，需要改变厚度比，或在另一侧也加陶瓷使其对称等其他对策。
注意计算前提
该计算为弹性，直接接合时镍侧最大应力为401 MPa。退火镍的屈服应力远低于此，实际上金属会屈服、应力松弛。此外，层合板方程给出的是板中部的应力，端部界面应力会集中增大（剥离多从端部开始）。梯度层最大的作用正是缓和这种端部集中，因此最终判断要用包含端部的二维/三维有限元分析。
设计步骤
- 收集从接合温度到使用温度的温差，以及两种材料的热膨胀系数、弹性模量和强度。
- 用层合板方程估算直接接合的界面突变、表面应力和翘曲。
- 问题若是界面突变（剥离），考虑梯度层；若是表面开裂或翘曲，考虑厚度比或对称化。
- 用包含端部的有限元分析比较级数、成分分布和梯度层厚度，并考虑金属的屈服和蠕变。
- 用试样确认梯度层自身的物性（与混合律的偏差、气孔）。
“级数增加了，开裂却没减少”
陶瓷-金属接合出现开裂，于是把梯度层从3级增加到9级。界面剥离减少了，但陶瓷表面的裂纹照样出现。正如表中所示，增加级数几乎不改变表面拉应力。原因不是剥离，而是翘曲引起的表面弯曲应力。加厚陶瓷以移动中性面，或在背面也加陶瓷层使其对称，表面拉应力会大幅降低。要先从裂纹的位置和方向判断是哪种应力造成的。
常见错误
错误与对策
| 错误 | 后果 | 对策 |
|---|---|---|
| 期望梯度层解决一切 | 翘曲和表面开裂仍在 | 判别起因应力 |
| 只凭板中部应力判断 | 漏掉端部集中 | 包含端部的有限元分析 |
| 金属保持弹性 | 高估应力 | 考虑屈服和蠕变 |
| 直接相信混合律 | 梯度层物性偏差 | 用试样确认 |
| 直接用接合温度作ΔT | 高估应力 | 从应力开始残留的温度算起 |
我想试试相关计算。