双向流固耦合
理论：附加质量与耦合稳定性
概述
双向耦合计算一遇到水中结构就马上发散。
这在用不同求解器交替求解流体和结构的分离式方法中经常发生。结构运动时必须推开周围流体，所以表现得比实际更重，这个增加的部分就是附加质量。空气中几乎可以忽略，但在水或血液中可能比结构本身还重。附加质量超过结构质量后，流体与结构每交换一次误差就增大一次，无论时间步长多小都会发散。对策是对交换的位移乘以松弛因子，或改用同时求解流体和结构的整体式方法。
附加质量比与误差倍率
λ为面板振动模态的波长，m_s为单位面积结构质量。在简化模型中，每次交换误差乘以 1 − ω(1 + r)。ω = 1（不松弛）时，r > 1 即发散。
收敛条件与Aitken松弛
R为交换位移的残差。Aitken松弛每次根据前两次残差重新计算ω。
从血管计算中认识的不稳定
附加质量引起的不稳定，在2000年代随着血流与血管壁耦合计算的普及而受到关注。血管壁薄且密度与血液相近，附加质量比大。2005年Causin等人的分析表明，分离式显式方法减小时间步长也不会变稳定，反而更易不稳定。这推动了带松弛因子的迭代、流体与结构整体求解方法，以及拟牛顿耦合（IQN-ILS等）的研究。
算例
例1：附加质量比与收敛迭代次数（残差10⁻⁶）
| 工况 | 附加质量比 r | ω上限 | ω = 1 | ω = 0.25 | ω = 0.1 |
|---|---|---|---|---|---|
| 2 mm钢板·空气 | 0.006 | 1.99 | 3次 | 48次 | 131次 |
| 1 mm铝板·空气 | 0.021 | 1.96 | 4次 | 47次 | 129次 |
| 2 mm钢板·水 | 5.07 | 0.33 | 发散 | 21次 | 15次 |
| 0.5 mm血管壁·血液 | 5.78 | 0.30 | 发散 | 39次 | 13次 |
钢板、铝板的模态波长取0.5 m、0.3 m，血管取半径3 mm（周向模态）。空气中不松弛最快，加了松弛反而白白增加次数。
例2：有三个振动模态时
| 工况 | 各模态r | 最佳固定ω | Aitken |
|---|---|---|---|
| 2 mm钢板·水 | 5.1 / 3.0 / 1.5 | 0.23（16次） | 13次 |
| 血管壁·血液 | 5.8 / 3.5 / 1.7 | 0.21（17次） | 13次 |
| 2 mm钢板·空气 | 0.01 / 0.00 / 0.00 | 1.00（3次） | 5次 |
我以为减小时间步长就能稳定。
多数流动计算确实如此，但附加质量引起的不稳定不同。附加质量比由结构与流体密度、板厚和振型决定，与时间步长无关，所以减小时间步长误差倍率不变。甚至有报告指出，时间步长越小，附加质量相对结构惯性的作用越明显，越容易不稳定。解决办法是降低松弛因子、用Aitken松弛或拟牛顿法改进交换，或采用整体式求解器。像空气中r很小时不需要松弛，松弛只会增加次数，所以先估算r再确定设置。
实务流程
- 根据结构与流体密度、厚度估算附加质量比r。
- r足够小时，考虑单向耦合或不松弛的分离式。
- r超过1时采用强耦合（时间步内迭代），ω从远小于2/(1+r)开始。
- 用Aitken松弛或拟牛顿法减少迭代次数。
- 每个时间步确认界面的力平衡和位移连续。
“时间步长缩小到十分之一也不行”
某水中薄隔板的耦合计算，几步之内位移振荡增大而发散。负责人把时间步长缩小到十分之一、再到百分之一，结果只是发散得更早。隔板为厚2 mm的钢板，估算附加质量比约为5，不松弛的分离式每次交换误差放大5倍。改为带Aitken松弛的强耦合后，每步十多次迭代即可稳定求解，时间步长也恢复了原值。
常见错误
错误与对策
| 错误 | 后果 | 对策 |
|---|---|---|
| 靠时间步长求稳定 | 发散更早 | 松弛·强耦合 |
| 水中用弱耦合 | 附加质量发散 | 步内迭代 |
| 空气中强松弛 | 迭代白白增加 | 从ω = 1开始 |
| 界面网格不匹配 | 力不守恒 | 守恒型映射 |
| 流体网格变形大 | 网格翻转 | 选择网格运动方法 |
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