晃荡（液面晃动）
理论：液体晃动也有固有周期
概述
端着一杯水走路时，只有某种步调下才会洒得厉害。那也是晃荡吗？
没错。容器内的液体按容器尺寸和液深决定的固有周期晃动，外部激励的周期与之接近时就会共振，液面大幅升起。杯子是走路的节奏，罐车是制动和转弯，油罐是地震，火箭是姿态控制——尺度不同，机理相同。
矩形容器的固有频率
$L$ 为晃动方向上的容器长度，$h$ 为液深，出自线性势流理论（无旋、小振幅）。$\tanh(kh)$ 反映水深的影响：深容器趋近于1，浅容器变小，周期变长。
圆柱容器
$R$ 为半径。1.8412 是贝塞尔函数导数 $J_1'$ 的第一个零点，对应圆柱的一阶晃动（液面一侧升起、另一侧下降的形态）。
长周期地震动与储罐火灾
2003年十胜冲地震中，距震源200多公里的苫小牧油罐发生剧烈晃荡，浮顶受损并引发火灾。远离震源处，短周期震动会减弱，但周期数秒的长周期震动衰减慢，在沉积层较厚的平原还会被放大。大型储罐的固有周期恰好落在这一频段，使灾害加重。以此为契机，日本在储罐抗震标准中加强了对长周期震动和晃荡的考虑。
算例
各种容器的一阶固有周期
| 容器 | 尺寸 | 一阶固有频率 | 周期 |
|---|---|---|---|
| 实验水槽 | L = 2 m, h = 1 m | 0.598 Hz | 1.67 秒 |
| 同一水槽、浅水 | L = 2 m, h = 0.2 m | 0.345 Hz | 2.90 秒 |
| 罐车（一个舱室） | L = 10 m, h = 1 m | 0.154 Hz | 6.49 秒 |
| 隔板分成三格 | L = 3.33 m, h = 1 m | 0.415 Hz | 2.41 秒 |
| 水塔 | 直径 6 m, h = 5 m | 0.390 Hz | 2.57 秒 |
| 油罐 | 直径 30 m, h = 12 m | 0.166 Hz | 6.04 秒 |
| 大型油罐 | 直径 60 m, h = 20 m | 0.113 Hz | 8.83 秒 |
装了隔板，周期从6.5秒缩短到2.4秒。周期变短，晃动不是会更厉害吗？
关键在于与激励周期的关系。制动和变道对液体的激励周期大约是几秒，长舱室的6.5秒很容易被激起。缩短舱室后固有周期偏离这一范围，而且每格液体质量减少，反作用到车身的力也变小。在隔板上开孔节流，是为了让晃动衰减。
地震时液面晃动高度
这是圆柱储罐一阶模态常用的近似，$S_a(T_1)$ 为一阶固有周期处的加速度反应谱值。直径30 m 的储罐若 $S_a = 0.1g$，液面约上下晃动1.3 m。浮顶和储罐上部的余量高度据此确定；实际设计须遵循所用标准的公式和系数。
CFD评估
VOF分析设置
- 自由表面：液气界面一般用VOF法处理。界面经过的范围要加密网格，尺寸约为波高的百分之几。
- 激励的施加：不移动容器，而是在固定于容器的坐标系中以惯性力（体积力）施加加速度，就无需移动网格。
- 时间步长：保持库朗数小于1（界面附近约0.5以下），使界面每步移动不超过一个网格，一般每个固有周期几百步以上。
- 湍流与阻尼：晃动衰减取决于壁面边界层和隔板孔处的涡。数值扩散过大时，晃动会比实际衰减得更快，要注意。
验证步骤
- 从液面略微倾斜的初始状态开始自由振动，从液面高度时程读出固有周期，与上式比较，误差在百分之几以内即说明设置合理。
- 在同一计算中，由振幅衰减求出阻尼比，与实验值或文献值比较。
- 加密网格和时间步长，确认周期和阻尼比不再变化后，再进入实际激励工况。
在结构分析中换成“弹簧与质量”
储罐抗震设计很少用CFD求解全部液体，而是用等效力学模型，把液体分为与罐体一起运动的质量（脉冲质量）和通过弹簧连接、会晃动的质量（对流质量）。这一思路由豪斯纳在20世纪50年代整理，弹簧的固有周期取本文公式求得的晃荡周期。CFD则是详细研究简单模型无法表达的大幅晃动或对罐顶冲击时的工具。
常见错误
错误与对策
| 错误 | 后果 | 对策 |
|---|---|---|
| 省略水深影响（tanh） | 浅容器周期估短 | 务必包含 $\tanh(kh)$ |
| 取错晃动方向的长度 | 周期严重偏差 | 使用激励方向的内尺寸 |
| 界面附近网格过粗 | 波被抹平，高估阻尼 | 加密界面经过的范围 |
| 对大振幅使用线性理论 | 无法表示破碎和撞顶 | 大振幅用CFD评估 |
| 忽略二阶以上模态 | 漏掉短周期激励下的响应 | 也要确认 $n = 2, 3$ 的周期 |
我想改变容器尺寸看看晃动情况。