海浪建模
波浪建模
理论：周期与水深决定波浪
概述
用CFD造波时，首先要定什么？
首先是波长。波浪不能只由周期决定，长度和速度都随水深变化，把它们联系起来的是色散关系。知道波长，就能确定计算域大小、网格细度、造波区和消波区长度。波峰前进速度与能量前进速度也不同，波何时到达结构物以及波浪输送多少能量由群速度决定。我们改变周期和水深来计算。
色散关系
$$ \omega^2 = g k \tanh(kh),\qquad L = \frac{2\pi}{k},\qquad c = \frac{L}{T},\qquad c_g = \frac{c}{2}\left(1 + \frac{2kh}{\sinh 2kh}\right) $$
深水/浅水极限与能量
$$ L_0 = \frac{gT^2}{2\pi}\ (\text{deep}),\qquad c \to \sqrt{gh}\ (\text{shallow}),\qquad P = \frac{\rho g H^2}{8}\,c_g $$
深水（水深＞波长的1/2）时波长与周期平方成正比，浅水（水深＜波长的1/20）时速度只由水深决定。P为波高H的波每米波峰输送的能量。
Coffee Break 随笔闲谈
艾里的波浪理论
水波线性理论由英国天文学家乔治·艾里于1845年整理而成，至今仍称艾里波理论。后来斯托克斯给出了波高较大的非线性理论，浅水中又发展了孤立波和椭圆余弦波理论。现代CFD在计算域入口造波时，仍以这些理论解给定速度和水面形状。理论也是检验计算是否正确传播波浪的基准。
算例
例1：不同周期与水深的波长和速度
| 周期 | 水深 | 波长 | 相速度 | 群速度 | 波能（H = 2 m） |
|---|---|---|---|---|---|
| 6 秒 | 100 m | 56 m | 9.4 m/s | 4.7 m/s | 23 kW/m |
| 10 秒 | 100 m | 156 m | 15.6 m/s | 7.8 m/s | 39 kW/m |
| 10 秒 | 20 m | 121 m | 12.1 m/s | 9.3 m/s | 47 kW/m |
| 10 秒 | 5 m | 68 m | 6.8 m/s | 6.3 m/s | 32 kW/m |
| 14 秒 | 100 m | 297 m | 21.2 m/s | 11.9 m/s | 60 kW/m |
浅水极限速度√(gh)在水深5 m时为7.0 m/s，周期10秒的波在5 m水深为6.8 m/s，接近该值。
例2：CFD网格（周期10秒、波高2 m、深水）
| 项目 | 值 |
|---|---|
| 波长 | 156 m |
| 波陡 H/L | 0.013 |
| 横向网格（每波长80格） | 1.95 m |
| 水面附近竖向（每波高15格） | 0.13 m |
| 3个波长的二维域 | 横向240格 × 水面附近约45格 |
周期10秒的波从深水来到5 m水深，波长缩短到一半以下。
周期不变而速度下降，所以波长变短。深水中波浪感觉不到水深，变浅后被海底拖慢。此时群速度下降，能量聚集，波高增大，最终破碎。靠近岸边的波陡然高起就是这个原因。CFD中波长变短的浅水区需要更细的网格，所以水深变化的区域网格尺寸也要随位置调整。深水中群速度为相速度一半这一点，可用来估算波群穿过计算域所需的时间。
CFD中的波浪处理
- 由周期与水深求波长，确定网格和计算域大小。
- 入口设造波区、出口设消波（衰减）区，长度取1～2个波长。
- 波陡大的波用斯托克斯波等非线性理论给定。
- 时间步长取周期的1/100～1/500左右，并确认库朗数。
- 传播几个波长后的波高与理论比较，确认数值衰减。
Coffee Break 随笔闲谈
“波浪半路消失了”
某浮体波浪中分析时，造出的波到达浮体时波高已降到理论值的六成左右。调查发现横向网格每个波长只有约25格，波在传播中被数值粘性衰减。改为每波长80格、水面附近加密后，波高衰减控制在百分之几以内。作用在浮体上的力大致与波高成正比，网格粗糙直接导致了载荷低估。
常见错误
错误与对策
| 错误 | 后果 | 对策 |
|---|---|---|
| 浅水处用深水公式 | 高估波长 | 求解色散关系 |
| 网格粗 | 波浪衰减 | 每波长60～100格 |
| 无消波区或太短 | 混入反射波 | 1～2个波长的消波区 |
| 按相速度算能量到达 | 到达时间算错 | 用群速度 |
| 陡波用线性理论 | 波形与力算错 | 非线性理论 |
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