迎风格式
理论：面值如何构造
概述
CFD设置里对流项格式可选“一阶迎风”“二阶迎风”“QUICK”。该选哪个？
有限体积法计算穿过单元面的通量需要面值，迎风格式就是用上游（迎风侧）单元的值来构造它。一阶迎风直接用上游单元的值，稳定不振荡，但峰值不断被削平。二阶迎风和QUICK用上游两个以上单元以直线或曲线外推，精度高，但在剧烈变化处超调。选哪个取决于重视什么。我们用同一个形状输送来比较。
面值公式
流动从左向右（$i$ 侧为上游）时。一阶迎风（UDS）、二阶迎风（LUD）、QUICK使用的点依次增加，精度提高。
带限制器的TVD格式
$r$ 为相邻梯度之比，光滑处接近1，剧烈变化或极值附近为0或负。限制器 $\psi$ 在那里减弱二阶修正，防止超调。
Godunov定理
1959年苏联的Godunov证明了一个定理：不产生振荡的线性格式最多只有一阶精度。也就是说，系数固定的普通格式无法兼顾高精度与无振荡。为跨越这一障碍，20世纪70～80年代提出了系数随解的形状变化的“非线性”格式，van Leer的MUSCL和Harten的TVD是代表。限制器在光滑处用二阶精度、在剧烈处切换为一阶，巧妙地绕过了Godunov定理。
算例：把峰和方波输送一周
在分为100个单元的周期区间上，用CFL 0.4和两级龙格-库塔法把方波（高1）和高斯峰（高1）输送一周；理想情况下形状不变地回到原处：
| 格式 | 方波最大值 | 方波最小值 | 高斯峰高 | 高斯L1误差 |
|---|---|---|---|---|
| 一阶迎风 | 0.683 | 0.000 | 0.333 | 0.086 |
| 二阶迎风 | 1.190 | −0.215 | 0.746 | 0.064 |
| QUICK | 1.100 | −0.101 | 0.926 | 0.009 |
| TVD（minmod） | 0.964 | 0.000 | 0.613 | 0.037 |
| TVD（van Leer） | 0.999 | 0.000 | 0.750 | 0.021 |
QUICK保留峰值最好，方波却超出10%。
对，光滑处精度高，剧烈台阶处会振荡。浓度或温度出现小于0或超过上限的值，会使物性计算失败，或以负浓度推进反应。二阶迎风在方波上超出19%。TVD在台阶处也保持在0～1范围内，van Leer还保留75%峰高。一阶迎风安全，但峰被削到三分之一。基本分工是：重视光滑流动精度用QUICK或二阶迎风，处理台阶和锐利锋面用TVD。
选择参考
- 为稳定计算，前几百次迭代用一阶迎风开始，稳定后切换为高阶。
- 最终结果用二阶以上（二阶迎风、QUICK、TVD）给出，不要一直用一阶。
- 对浓度、体积分数、湍流量等有界量用TVD。
- 用实际使用的格式确认网格无关性。
- 网格越与流动方向对齐，数值扩散越小。
“混合过度的烟”
某隧道通风CFD中，烟的浓度比实验稀释扩散得快得多。为了稳定算完，一直用一阶迎风到最后。一阶迎风的数值扩散叠加在真实湍流扩散之上。切换为带限制器的二阶迎风（TVD）后，烟层清晰保留，浓度接近实验。不要把为稳定而用的设置一直用到出结果。
常见错误
错误与对策
| 错误 | 后果 | 对策 |
|---|---|---|
| 一阶迎风用到最后 | 高估混合扩散 | 切换为二阶以上 |
| 有界量用QUICK | 负浓度或体积分数 | 用TVD |
| 把振荡误认为物理 | 错误结论 | 换格式确认 |
| 限制器过强 | 峰值被削 | 用van Leer等适中的 |
| 忽略网格方向 | 斜向流动中扩散 | 与流动对齐的网格 |
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