多层壁热传导
理论与物理
多层壁基础
老师，建筑的墙壁或炉壁都是多层的吧。那个热计算怎么做呢？
将各层视为串联的热阻并相加。$n$ 层平板多层壁的稳态热流量为
各层的温降为 $\Delta T_i = q \cdot L_i/(k_i A)$，$k$ 越小的层温降越大。
和电路串联电阻的思路一样呢。
正是如此。这是热阻网络最基本的形式。若包含对流边界，则
温度分布
各层内的温度分布是线性的（$k$ 为常数时）。
层界面处温度连续，但温度梯度与 $k$ 的倒数成比例，因此不连续。
典型的多层壁结构
| 结构 | 层构成 | 整体U值 [W/(m$^2$ K)] |
|---|---|---|
| 住宅外墙 | 石膏板+玻璃棉隔热+胶合板+外墙板 | 0.3〜0.5 |
| 炉壁 | 耐火砖+隔热砖+铁皮 | 0.5〜2.0 |
| 冰箱 | 钢板+聚氨酯隔热+钢板 | 0.2〜0.4 |
| LNG储罐 | 不锈钢+珍珠岩隔热+碳钢 | 0.02〜0.05 |
LNG储罐的U值不到住宅的1/10呢。
因为要储存-162℃的液化天然气，所以要求极高的隔热性能。采用珍珠岩真空隔热可实现有效 $k = 0.002$ W/(m K) 左右。
多层壁的热阻串联法则
多层壁的总热阻是各层Rth=L/(kA)的串联相加。此原理与电路欧姆定律完全对应，也被1940年代的建筑隔热标准ISO 6946采用。在日本，它作为UA值计算的基础被规定在2025年节能标准中。
各项的物理意义
- 蓄热项 $\rho c_p \partial T/\partial t$：单位体积的热能储存率。【日常例子】铁锅难热难冷，而铝锅易热易冷——这是密度 $\rho$ 与比热 $c_p$ 的乘积（热容量）不同所致。热容量大的物体温度变化缓慢。水的比热非常大（4,186 J/(kg·K)），因此沿海气温比内陆稳定。在非稳态分析中，此项决定温度随时间的变化速率。
- 热传导项 $\nabla \cdot (k \nabla T)$：基于傅里叶定律的热传导。与温度梯度成比例的热流。【日常例子】金属勺放入热锅，勺柄也会变热——因为金属的热导率 $k$ 高，热量从高温侧快速传到低温侧。木勺不烫是因为 $k$ 小。隔热材料（如玻璃棉）的 $k$ 极小，即使有温度梯度也难以传热。这是将“有温差处就有热流”的自然趋势公式化。
- 对流项 $\rho c_p \mathbf{u} \cdot \nabla T$：伴随流体运动的热输送。【日常例子】吹风扇感到凉爽，是因为风（流体流动）带走了体表附近的暖空气，并供应新鲜的冷空气——这是强制对流。暖气使房间天花板附近变暖，是因为受热空气因浮力上升的自然对流。PC的CPU散热风扇也是通过强制对流散热。对流是比热传导高效得多的热输送手段。
- 热源项 $Q$：内部发热（焦耳热、化学反应热、辐射吸收等）。单位: W/m³。【日常例子】微波炉通过食品内部的微波吸收（体积发热）加热。电热毯的加热线通过焦耳发热（$Q = I^2 R / V$）变暖。锂离子电池充放电时的发热、刹车片的摩擦热也作为热源在分析中考虑。与外部对“表面”加热的边界条件不同，热源项表示“内部”的能量生成。
假设条件与适用范围
数值解法与实现
手算与FEM的选用
多层壁的计算手算就够了吗？
热桥的处理
建筑多层壁中最重要的2D效应就是热桥。木结构住宅的柱子比隔热材料 $k$ 高，热量会通过柱子泄漏。
可以把隔热部分和柱子部分当作并联电阻处理吗？
简易方法可以。ISO 6946规定的上下限法（Series-Parallel法）可估算。但准确来说需要2D FEM分析，并用线性热桥系数 $\Psi$ [W/(m K)] 来评估。
$\Psi$ 越大，热桥影响越大。
FEM中的多层壁建模
多层壁FEM建模的注意事项。
- 为各层分配不同材料
- 层间共享节点（Merged）或使用绑定接触（Bonded Contact）
- 薄层（粘接层、防潮膜等）可用壳单元或界面单元近似
- 空气层用等效热导率（包含对流+辐射）替代
空气层也当作固体建模吗？
密闭空气层可用等效 $k$ 近似。ISO 6946中有按厚度列出的空气层热阻值表。通风层（有换气时）需用CFD建模或作为边界条件处理。
UA值的计算步骤
建筑外墙的UA值（热传导率W/m²K）是各层热阻累加后取倒数。对于混凝土100mm＋玻璃棉100mm＋石膏板12.5mm的标准构成，包含表面对流传热阻力后，UA≈0.35 W/m²K左右。
线性单元 vs 二次单元
热传导分析中，线性单元通常也能获得足够精度。温度梯度陡峭的区域（如热冲击）推荐使用二次单元。
热流的评估
由单元内的温度梯度计算得出。与节点应力类似，有时需要平滑处理。
对流-扩散问题
佩克莱特数高（对流主导）时，需要迎风稳定化（SUPG等）。纯热传导问题则不需要。
非稳态分析的时间步长
设定比热扩散特征时间 $\tau = L^2 / \alpha$（$\alpha$: 热扩散率）足够小的时间步长。对于急剧的温度变化，自动时间步长控制有效。
非线性收敛
温度依赖物性值引起的非线性通常较温和，皮卡德迭代（直接替换法）往往足够。辐射的强非线性则推荐牛顿法。
稳态分析的判定
所有节点的温度变化低于阈值（如 $|\Delta T| / T_{max} < 10^{-5}$）时判定为收敛。
显式法与隐式法的比喻
显式法是“仅凭当前信息预测未来的天气预报”——计算快，但时间步长大时不稳定（会错过风暴）。隐式法是“也考虑未来状态的预测”——即使时间步长大也能稳定，但每一步都需要解方程，费时。对于没有急剧温度变化的问题，使用隐式法配合较大的时间步长更高效。
实践指南
建筑外墙计算示例
请给我看一个实际建筑外墙的计算例子。
以木结构住宅外墙（填充隔热）为例。
| 层 | 材料 | $L$ [mm] | $k$ [W/(m K)] | $R$ [m$^2$ K/W] |
|---|---|---|---|---|
| 室内侧对流 | — | — | — | 0.11 |
| 石膏板 | PB12.5 | 12.5 | 0.22 | 0.057 |
| 隔热材料 | GW16K | 105 | 0.038 | 2.763 |
| 胶合板 | 结构用9mm | 9 | 0.16 | 0.056 |
| 通风层 | — | 18 | — | 0.09 |
| 外墙板 | 陶瓷系 | 14 | 0.35 | 0.040 |
| 室外侧对流 | — | — | — | 0.04 |
| 合计 | 3.156 |
$U = 1/R_{\text{total}} = 0.317$ W/(m$^2$ K)。满足节能标准（4〜7地区）的要求值 $U \leq 0.53$。
隔热材料占了整体热阻的87%呢。
是的。其他层对热阻几乎没有贡献。隔热材料的性能几乎决定了墙壁整体的性能。
炉壁设计示例
钢加热炉的炉壁一般采用3层结构。
| 层 | 材料 | $L$ [mm] | $k$ [W/(m K)] |
|---|---|---|---|
| 耐火砖 | SK34相当 | 230 | 1.3 |
| 隔热砖 | B-2 | 115 | 0.3 |
| 铁皮 | SS400 | 6 | 50 |
炉内1200℃、外气25℃时，铁皮温度约80℃。设计满足作业人员安全标准（铁皮80℃以下）的隔热砖厚度。
铁皮的热阻几乎为零，所以实质上是耐火砖和隔热砖这两层呢。
没错。铁皮是结构体，不是隔热材料。
ZEH住宅的隔热设计实务
2023年施行的修订建筑节能法要求ZEH相当的UA值0.6以下（温暖地区）。使用旭化成建材的Neo-Ma Foam α（k=0.020 W/m·K）60mm，能以传统玻璃棉16K-100mm一半的厚度实现同等的隔热性能。
分析流程的比喻
热分析的流程可以想象成“浴池的循环加热设计”。决定浴池形状（分析对象），设定热水的初始温度（初始条件）和外气温（边界条件），调整循环加热的功率（热源）。计算预测“两小时后会不会变凉？”——这就是非稳态热分析的本质。
初学者容易陷入的误区
“可以忽略辐射吗？”——室温附近通常可以。但超过几百度就另当别论了。辐射传热与温度的四次方成正比，高温时会压倒对流。您有过在晴天时，向阳处和背阴处的体感温度截然不同的经验吧？那就是辐射的威力。在工业炉或发动机周边的分析中忽略辐射，就像在酷暑天坚持说“日照没关系”一样。
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