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FORMULA REFERENCE

机械·结构工程师重要公式集

汇总材料力学·流体力学·热工学·振动工学中常用公式。附各公式对应的交互式计算工具链接。

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目录

材料力学·结构分析

胡克定律（拉伸·压缩）
\(\sigma = E \varepsilon\)
σ: 应力 [Pa]、E: 杨氏模量 [Pa]、ε: 应变 [-]。弹性变形的基本关系式。
→ 莫尔应力圆工具
梁的最大挠度（两端固定·中央集中载荷）
\(\delta_{max} = \dfrac{PL^3}{192EI}\)
P: 载荷 [N]、L: 跨度 [m]、E: 杨氏模量 [Pa]、I: 截面惯性矩 [m⁴]。
→ 梁挠度计算工具
简支梁 — 中央集中载荷挠度
\(\delta_{max} = \dfrac{PL^3}{48EI}\)
简支梁（两端铰支）中央作用集中载荷时的最大挠度。
→ 梁挠度计算工具
欧拉屈曲载荷
\(P_{cr} = \dfrac{\pi^2 EI}{(KL)^2}\)
K: 有效长度系数（两端铰支=1.0，两端固定=0.5）。受压构件的屈曲临界载荷。
→ 屈曲计算工具
长细比（细长比）
\(\lambda = \dfrac{KL}{r}, \quad r = \sqrt{\dfrac{I}{A}}\)
r: 截面回转半径。λ越大越容易屈曲（λ > 100 为细长柱）。
→ 屈曲计算工具
薄壁压力容器（圆筒）的环向应力
\(\sigma_\theta = \dfrac{pr}{t}\)
p: 内压 [Pa]、r: 内半径 [m]、t: 壁厚 [m]。环向应力为轴向应力的2倍。
→ 压力容器计算工具
赫兹接触应力（球 vs 平面）
\(p_0 = \dfrac{3F}{2\pi a^2}, \quad a = \left(\dfrac{3FR}{4E^*}\right)^{1/3}\)
F: 载荷、R: 球的半径、E*: 等效弹性模量。用于滚动轴承·齿轮的接触应力评估。
→ 赫兹接触计算工具
热应力（均匀温度变化）
\(\sigma_{th} = E \alpha \Delta T\)
α: 线膨胀系数 [1/K]、ΔT: 温度变化 [K]。约束构件中产生的热应力。
→ 热应力计算工具

流体力学·CFD

雷诺数
\(Re = \dfrac{\rho V L}{\mu} = \dfrac{VL}{\nu}\)
ρ: 密度、V: 特征速度、L: 特征长度、μ: 动力粘度、ν: 运动粘度。Re < 2300 为层流，Re > 4000 为湍流。
→ 雷诺数计算工具
达西-韦斯巴赫方程（管道压力损失）
\(\Delta p = f \dfrac{L}{D} \dfrac{\rho V^2}{2}\)
f: 摩擦系数（层流: 64/Re）、L: 管长、D: 管径。管道设计的基本方程。
→ 管内流动计算工具
伯努利方程
\(p + \dfrac{1}{2}\rho V^2 + \rho g z = \text{const}\)
无粘性·定常·不可压缩流动中流线上的能量守恒定律。
→ 管内流动计算工具
连续方程（不可压缩流）
\(\nabla \cdot \mathbf{V} = 0 \quad \Rightarrow \quad A_1 V_1 = A_2 V_2\)
不可压缩流体的质量守恒定律。截面积减小时流速增大。

热工学

傅里叶热传导定律
\(q = -\lambda \dfrac{dT}{dx}\)
q: 热流密度 [W/m²]、λ: 热导率 [W/(m·K)]。适用于平板的稳态热传导。
→ 热扩散仿真
对流换热
\(q = h (T_s - T_\infty)\)
h: 对流换热系数 [W/(m²·K)]。也称为牛顿冷却定律。
→ 换热器NTU计算
热阻（串联连接）
\(R_{total} = \sum_i \dfrac{L_i}{\lambda_i A_i}\)
多层壁的热阻串联叠加。与电路中欧姆定律形式相同。
→ 热扩散仿真
换热器 — NTU法
\(\varepsilon = \dfrac{Q}{Q_{max}}, \quad NTU = \dfrac{UA}{C_{min}}\)
ε: 换热效率、U: 总传热系数、A: 传热面积、C_min: 最小热容量流量。
→ 换热器NTU计算
热扩散方程（一维）
\(\dfrac{\partial T}{\partial t} = \alpha \dfrac{\partial^2 T}{\partial x^2}, \quad \alpha = \dfrac{\lambda}{\rho c_p}\)
α: 热扩散率 [m²/s]。非稳态热传导的控制方程。用傅里叶数 Fo = αt/L² 进行无量纲化。
→ 热扩散仿真

振动·动力学

单自由度系统固有频率
\(\omega_n = \sqrt{\dfrac{k}{m}}, \quad f_n = \dfrac{\omega_n}{2\pi}\)
k: 弹簧刚度 [N/m]、m: 质量 [kg]。共振频率的基本公式。
→ 特征值·振动分析工具
阻尼比与临界阻尼
\(\zeta = \dfrac{c}{c_{cr}}, \quad c_{cr} = 2\sqrt{km}\)
ζ < 1: 欠阻尼（振动衰减）、ζ = 1: 临界阻尼、ζ > 1: 过阻尼。
薄板屈曲（四边简支，面内压缩）
\(N_{cr} = k_c \dfrac{\pi^2 D}{b^2}, \quad D = \dfrac{Et^3}{12(1-\nu^2)}\)
D: 弯曲刚度、b: 载荷方向板宽、k_c: 屈曲系数（取决于长宽比）。
→ 板屈曲计算工具

断裂·疲劳力学

应力强度因子（I型）
\(K_I = \sigma \sqrt{\pi a} \cdot F(a/W)\)
σ: 远场应力、a: 裂纹半长、F: 形状系数。K_I > K_IC 时发生断裂。
→ J积分·断裂力学工具
Paris定律（裂纹扩展）
\(\dfrac{da}{dN} = C (\Delta K)^m\)
C、m: 材料常数、ΔK: 应力强度因子幅值。疲劳裂纹扩展速率的预测公式。
→ Paris定律计算工具
古德曼图（疲劳极限评估）
\(\dfrac{\sigma_a}{\sigma_e} + \dfrac{\sigma_m}{\sigma_u} = 1\)
σ_a: 应力幅值、σ_m: 平均应力、σ_e: 单向疲劳极限、σ_u: 抗拉强度。
→ 古德曼图工具

→ CAE·FEM·CFD术语表（收录100余词）
→ 计算工具列表（300种以上）进行交互式计算

使用指南

  1. 选择工程领域：在材料力学、流体力学、热工学或振动工学四大模块中定位所需公式
  2. 输入设计参数：将实际工程数据（如钢材E=200GPa、铝合金密度ρ=2.7g/cm³）代入交互式计算器
  3. 获取结果与校核：系统自动计算应力、变形、流量、温度场等关键指标，并生成FEA前处理建议

具体计算示例

某矩形钢梁承受均布荷载：长度L=3m、截面宽b=100mm、高h=200mm、荷载q=8kN/m、E=200GPa。最大弯曲应力σ=qL²/(8I)×(h/2)=(8×9)/(8×66.67)×100≈135MPa；中点挠度δ=5qL⁴/(384EI)=5×8×81/(384×200000×66.67)≈1.2mm。该结果可直接用于CAE前处理网格生成和边界条件定义。

实务注意事项

  1. 安全系数应用：结构钢许用应力取σ_allow=235MPa，设计应力需预留30-50%余量以应对疲劳载荷
  2. 材料特性温度依赖：高温环境下铝合金屈服强度降低15-25%，CFD热分析后需重新修正强度数据
  3. 网格划分建议：应力集中区域（孔洞、圆角）单元尺寸控制在特征长度的1/10以内，确保FEM收敛精度
  4. 单位制统一：国际工程采用SI制（MPa、mm、N），避免与美制（ksi、inch）混用导致量纲错误