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FORMULA REFERENCE

機械・構造エンジニアの重要公式集

材料力学・流体力学・熱工学・振動工学でよく使う公式を一覧化。各公式に対応するインタラクティブ計算ツールへのリンク付き。

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目次

材料力学・構造解析

フックの法則（引張・圧縮）
\(\sigma = E \varepsilon\)
σ: 応力 [Pa]、E: ヤング率 [Pa]、ε: ひずみ [-]。弾性変形の基本関係式。
→ モールの応力円ツール
梁の最大たわみ（両端固定・中央集中荷重）
\(\delta_{max} = \dfrac{PL^3}{192EI}\)
P: 荷重 [N]、L: スパン [m]、E: ヤング率 [Pa]、I: 断面二次モーメント [m⁴]。
→ 梁のたわみ計算ツール
単純支持梁 — 中央集中荷重のたわみ
\(\delta_{max} = \dfrac{PL^3}{48EI}\)
単純支持梁（両端ピン）に中央集中荷重が作用する場合の最大たわみ。
→ 梁のたわみ計算ツール
オイラー座屈荷重
\(P_{cr} = \dfrac{\pi^2 EI}{(KL)^2}\)
K: 有効長さ係数（両端ピン=1.0、両端固定=0.5）。圧縮部材の座屈臨界荷重。
→ 座屈計算ツール
細長比（スレンダーネス比）
\(\lambda = \dfrac{KL}{r}, \quad r = \sqrt{\dfrac{I}{A}}\)
r: 断面二次半径。λが大きいほど座屈しやすい（λ > 100 で細長柱）。
→ 座屈計算ツール
薄肉圧力容器（円筒）のフープ応力
\(\sigma_\theta = \dfrac{pr}{t}\)
p: 内圧 [Pa]、r: 内半径 [m]、t: 肉厚 [m]。フープ応力は軸応力の2倍になる。
→ 圧力容器計算ツール
ヘルツ接触応力（球 vs 平面）
\(p_0 = \dfrac{3F}{2\pi a^2}, \quad a = \left(\dfrac{3FR}{4E^*}\right)^{1/3}\)
F: 荷重、R: 球の半径、E*: 等価弾性率。転がり軸受・ギアの接触応力評価に使用。
→ ヘルツ接触計算ツール
熱応力（均一温度変化）
\(\sigma_{th} = E \alpha \Delta T\)
α: 線膨張係数 [1/K]、ΔT: 温度変化 [K]。拘束された部材に発生する熱応力。
→ 熱応力計算ツール

流体力学・CFD

レイノルズ数
\(Re = \dfrac{\rho V L}{\mu} = \dfrac{VL}{\nu}\)
ρ: 密度、V: 代表速度、L: 代表長さ、μ: 粘度、ν: 動粘度。Re < 2300 で層流、Re > 4000 で乱流。
→ レイノルズ数計算ツール
ダルシー・ワイズバッハの式（管路圧力損失）
\(\Delta p = f \dfrac{L}{D} \dfrac{\rho V^2}{2}\)
f: 摩擦係数（層流: 64/Re）、L: 管長、D: 管径。配管設計の基本式。
→ 管内流れ計算ツール
ベルヌーイの式
\(p + \dfrac{1}{2}\rho V^2 + \rho g z = \text{const}\)
非粘性・定常・非圧縮流における流線上のエネルギー保存則。
→ 管内流れ計算ツール
連続の式（非圧縮流）
\(\nabla \cdot \mathbf{V} = 0 \quad \Rightarrow \quad A_1 V_1 = A_2 V_2\)
非圧縮流体における質量保存則。断面積が小さくなると流速が増加する。

熱工学

フーリエの熱伝導法則
\(q = -\lambda \dfrac{dT}{dx}\)
q: 熱流束 [W/m²]、λ: 熱伝導率 [W/(m·K)]。平板の定常熱伝導に適用。
→ 熱拡散シミュレーション
熱伝達（対流）
\(q = h (T_s - T_\infty)\)
h: 対流熱伝達係数 [W/(m²·K)]。ニュートンの冷却則とも呼ばれる。
→ 熱交換器NTU計算
熱抵抗（直列接続）
\(R_{total} = \sum_i \dfrac{L_i}{\lambda_i A_i}\)
多層壁の熱抵抗を直列に合算。電気回路のオームの法則と同形。
→ 熱拡散シミュレーション
熱交換器 — NTU法
\(\varepsilon = \dfrac{Q}{Q_{max}}, \quad NTU = \dfrac{UA}{C_{min}}\)
ε: 熱交換効率、U: 総括熱伝達係数、A: 伝熱面積、C_min: 最小熱容量流量。
→ 熱交換器NTU計算
熱拡散方程式（1D）
\(\dfrac{\partial T}{\partial t} = \alpha \dfrac{\partial^2 T}{\partial x^2}, \quad \alpha = \dfrac{\lambda}{\rho c_p}\)
α: 熱拡散率 [m²/s]。非定常熱伝導の支配方程式。フーリエ数 Fo = αt/L² で無次元化。
→ 熱拡散シミュレーション

振動・動力学

1自由度系の固有振動数
\(\omega_n = \sqrt{\dfrac{k}{m}}, \quad f_n = \dfrac{\omega_n}{2\pi}\)
k: ばね定数 [N/m]、m: 質量 [kg]。共振周波数の基本式。
→ 固有値・振動解析ツール
減衰比と臨界減衰
\(\zeta = \dfrac{c}{c_{cr}}, \quad c_{cr} = 2\sqrt{km}\)
ζ < 1: 不足減衰（振動減衰）、ζ = 1: 臨界減衰、ζ > 1: 過減衰。
薄板の座屈（四辺単純支持、面内圧縮）
\(N_{cr} = k_c \dfrac{\pi^2 D}{b^2}, \quad D = \dfrac{Et^3}{12(1-\nu^2)}\)
D: 曲げ剛性、b: 荷重方向の板幅、k_c: 座屈係数（アスペクト比依存）。
→ 板座屈計算ツール

破壊・疲労力学

応力拡大係数（モードI）
\(K_I = \sigma \sqrt{\pi a} \cdot F(a/W)\)
σ: 遠方応力、a: き裂半長、F: 形状係数。K_I > K_IC で破壊。
→ J積分・破壊力学ツール
パリス則（き裂進展）
\(\dfrac{da}{dN} = C (\Delta K)^m\)
C、m: 材料定数、ΔK: 応力拡大係数範囲。疲労き裂進展速度の予測式。
→ パリス則計算ツール
グッドマン線図（疲労限度評価）
\(\dfrac{\sigma_a}{\sigma_e} + \dfrac{\sigma_m}{\sigma_u} = 1\)
σ_a: 応力振幅、σ_m: 平均応力、σ_e: 片振り疲労限度、σ_u: 引張強さ。
→ グッドマン線図ツール

→ CAE・FEM・CFD用語集はこちら（100語以上収録）
→ 計算ツール一覧（300種以上）でインタラクティブに計算

使い方ガイド

  1. 対象公式を材料力学・流体力学・熱工学・振動工学から選択します
  2. 材料定数(ヤング率E、ポアソン比ν)と境界条件を入力欄に設定します
  3. 荷重値・寸法・流量などの解析パラメータを入力し計算ボタンを押下します
  4. 応力分布・変位・固有振動数などの結果をリアルタイム表示で確認します
  5. 応力集中係数や安全率を自動計算し設計判定を得ます

具体的な計算例

軟鋼SS400製の片持ち梁(長さ1.5m、断面I型H-200×100×5.5×8)に先端に集中荷重20kNを加える場合:ヤング率E=200GPa、断面二次モーメントI=1720cm⁴を入力すると、先端変位δ=PL³/(3EI)=20×(1.5)³/(3×200×1720×10⁻⁸)=5.2mm、最大曲げ応力σ=MC/I=300×100/(1720×10⁻⁴)=174MPaと算出され、許容応力215MPaに対し安全率1.24が得られます。

実務での注意点