Realizable k-εモデル

Shih et al.（1995）が提案したモデルだ。「Realizable」は、レイノルズ応力テンソルの物理的整合性条件（realizability constraints）を満たすことを意味する。具体的には、法線レイノルズ応力が非負（$\overline{u_\alpha'^2} \geq 0$）であること、およびSchwarzの不等式（$\overline{u_\alpha' u_\beta'}^2 \leq \overline{u_\alpha'^2}\cdot\overline{u_\beta'^2}$）を満足することだ。

ある。標準k-εでは $C_\mu = 0.09$ が定数なので、ひずみ速度が非常に大きい領域（例えば旋回流の中心）で法線応力が負になることがある。これは物理的にあり得ない。

$k$ 方程式は標準k-εと同じだが、$\varepsilon$ 方程式が大きく異なる。

ここで重要なのは $C_1$ の定義だ。

その通り。Realizableモデルでは渦粘性を以下で定義する。

ここで $U^* = \sqrt{S_{ij}S_{ij} + \tilde{\Omega}_{ij}\tilde{\Omega}_{ij}}$ で、$A_0 = 4.04$、$A_s = \sqrt{6}\cos\phi$（$\phi$ はひずみ速度テンソルの第3不変量から算出）。

まさにそうだ。旋回流の中心では $S$ が大きいので $C_\mu$ が減少し、乱流エネルギーの過大予測が抑制される。静かな流れ（$S k/\varepsilon \to 0$）では $C_\mu \to 1/A_0 \approx 0.25$ だが、通常のせん断流では約0.09に近い値となり、標準k-εと整合する。

$\varepsilon$ 方程式のソース項に $\sqrt{\nu\varepsilon}$ が含まれるため、$\varepsilon \to 0$ でも特異性が回避されている。ただし、複数の回転参照系を用いるマルチゾーン計算で非物理的な乱流粘性が生じることがある。これはFluentでは修正版（sliding mesh用の補正）で対応済み。

$\varepsilon$ 方程式の形が違うので、ソース項の線形化に注意が必要だ。特に分母の $k + \sqrt{\nu\varepsilon}$ が重要で、$k \to 0$ の領域（壁面極近傍や非乱流領域）でもゼロ割りが発生しないように設計されている。

離散化スキームの推奨は標準k-εと同じだ。

そうだ。各セルで $S_{ij}$ と $\Omega_{ij}$ を計算し、$U^*$ と $\phi$ を算出して $C_\mu$ を更新する。計算コストは標準k-εよりわずかに増えるが、追加の輸送方程式を解くわけではないので大きな差にはならない。

```

constant/turbulenceProperties で以下を指定する。

K-Epsilon Turbulence → Realizable K-Epsilon Two-Layer を選択。Two-LayerモデルはAll y+ Wall Treatmentと組み合わせて使うのが一般的だ。

一般的にはRealizable k-εの方が収束性は良好だ。$C_\mu$ が可変であることで、非物理的な $\mu_t$ の爆発が抑制されるからだ。ただし初期数十反復で $C_\mu$ が大きく変動すると不安定になることがある。その場合は乱流粘性比のURFを0.8程度に下げるとよい。

以下がRealizable k-εの得意分野だ。

判断基準はこうだ。

壁関数を使うなら $y^+ = 30\sim300$。Enhanced Wall Treatmentなら $y^+ \approx 1$ で壁面を解像する。Realizableは旋回流に強いので、旋回の中心軸付近のメッシュ解像度も重要だ。旋回中心から壁面まで少なくとも20〜30セル以上確保する。

代表的なものを挙げる。

基本方程式は同じだが、壁面処理や補助モデルの実装が異なる。主な差異をまとめよう。

CFXは独自のk-εモデル（Scalable Wall Functionベース）を持っているが、Shih et al.のRealizable定式化はデフォルトでは搭載されていない。CFXでは代わりにSST k-ωの使用が強く推奨されている。

MRF（Multiple Reference Frame）やSliding Mesh解析では、回転座標系でのコリオリ力の扱いに注意が必要だ。Realizableモデルの $C_\mu$ は絶対座標系の $\Omega_{ij}$ を使うので、回転系での見かけの渦度が混入すると非物理的な結果になることがある。Fluentではこの補正が実装されているが、他のソルバーでは確認が必要だ。

乱流モデル自体は全ソルバーで追加ライセンスなしに使える。選択の基準はモデルの有無よりもワークフロー全体で考えるべきだ。OpenFOAMは無償だが、サポートやGUI、自動メッシングには追加コストがかかる場合がある。

Realizableの $C_\mu$ 可変化は線形渦粘性の範囲内の改良だ。その先には非線形渦粘性モデル（NLEVM）がある。

これにより、二次流れの予測（ダクト内二次流れなど）が改善される。ただし実装が複雑で収束が難しく、工業的にはまだあまり普及していない。

レイノルズ応力テンソル $R_{ij} = \overline{u_i'u_j'}$ は半正定値でなければならない。つまり全ての固有値が非負だ。Boussinesq仮説で表すと:

$\nu_t S$ が $k/3$ を超えると法線応力の一つが負になる。これを防ぐには:

Fluent等ではDES (Detached Eddy Simulation) のベースモデルとしてRealizable k-εを選択できる。この場合、壁面近傍はRANS（Realizable k-ε）で、壁面から離れた領域ではLES的に振る舞う。

$\varepsilon$ 方程式の散逸項を修正してLES的なサブグリッド散逸に置き換える。格子幅 $\Delta$ に基づく長さスケールを導入する。

大規模な非定常剥離が支配的な流れ（車体後流、建物周り風など）ではDESが有効だ。ただしメッシュ要件が大幅に厳しくなるので、まずはRANSで全体像を把握してからDES化を検討するのが実務的だ。

症状: MRFやSliding Meshの界面付近で $\mu_t/\mu$ が $10^5$ を超える。

症状: 非常に低いReynolds数の領域で $\varepsilon$ の収束が遅い。

症状: 軸対称噴流の解析で、十分反復しても解が非対称になる。

手順:

$C_\mu$ がセルごとに変化するようになるので、$\mu_t$ 分布が変わり、速度場も変化する。定性的な流れパターンが変わることもあるので、結果は注意深く確認すること。