双金属热变形分析
理论：把伸长差转化为弯曲
概述
听说双金属片用于恒温器。设计时需要计算什么？
主要有四项：温度下弯曲多少（曲率）、端部移动多少（位移）、挡住时推力多大（力），以及两片贴合面承受多大应力（剥离风险）。前三项可用梁公式计算，但界面应力集中在端部，需要用有限元确认。我们以恒温器用高膨胀合金与因瓦合金的组合依次来看。
Timoshenko公式
$h$ 为总厚度，$t_1, t_2$ 为各层厚度，$\Delta\alpha$ 为热膨胀系数差。两层弹性模量和厚度相同时 $\kappa = 1.5\,\Delta\alpha\,\Delta T / h$。
端部位移与输出力
悬臂双金属片以均匀曲率弯曲，端部位移与长度平方成正比。挡住端部时的力，是把同样位移推回所需的力。$EI$ 为两层合成的弯曲刚度。
从哈里森的钟到恒温器
双金属片最早由18世纪英国钟表匠约翰·哈里森实用化。他在航海钟H3中，用黄铜与钢贴合的片来补偿游丝随温度的变化。弯曲公式则晚得多，1925年Timoshenko发表了包含两层厚度和弹性模量的公式。该公式至今不仅用于双金属片，还广泛用于半导体薄膜翘曲、基板变形等。
算例
例1：厚度比与弯曲
高膨胀合金（α = 20×10⁻⁶ /K，E = 170 GPa）与因瓦合金（α = 1.5×10⁻⁶ /K，E = 140 GPa），总厚1 mm，ΔT = 50 K。m为因瓦层厚度除以高膨胀层厚度。
| 厚度比 m | 曲率 [1/m] |
|---|---|
| 0.5 | 1.19 |
| 0.8 | 1.35 |
| 1.0 | 1.38 |
| 1.10（最佳） | 1.39 |
| 1.5 | 1.36 |
| 2.0 | 1.27 |
最佳比与弹性模量比的平方根 √(170/140) = 1.10 一致。最大曲率1.39 1/m，与弹性模量相等时的公式 1.5ΔαΔT/h 相同。m = 0.8～1.5范围内与最大值相差3%以内，对厚度比不敏感。
例2：悬臂位移与力
| 项目 | 值 |
|---|---|
| 曲率半径（等厚，50 K） | 722 mm |
| 端部位移（长50 mm） | 1.73 mm |
| 每1 K位移 | 0.035 mm/K |
| 挡住端部时的力（宽5 mm） | 2.7 N |
例3：用二维有限元确认
用平面应力四节点单元（长度方向400×厚度方向20分）求解同一悬臂双金属片：
| 项目 | 结果 |
|---|---|
| 端部位移 | 1.721 mm（公式 1.730 mm，差0.5%） |
| 中部界面轴向应力 | 因瓦侧 +62 MPa／高膨胀侧 −71 MPa |
| 界面剪应力（中部至距端2 mm） | 几乎为0 |
| 界面剪应力（距端0.44 mm） | 4.3 MPa |
| 界面剪应力（距端0.06 mm） | 24 MPa |
弯曲大小与梁公式完全吻合，界面剪应力却在公式里完全不出现。
Timoshenko公式描述的是把两片视为一体弯曲的平均变形。两片之间传递力其实只在端部附近。中部两片的伸长差处于平衡锁定状态，不需要剪力。自由端轴力必须回到零，所以力在约为总厚度的短区间内一下子传递，剪应力集中。端部角点理论上是奇异点，单元越细值越大。重要的不是数值本身，而是“从端部开始”——实际剥离也几乎都从端部发展。
设计与分析要点
- 要增大弯曲，就加大热膨胀系数差、减小总厚度。
- 厚度比稍偏离最佳值影响很小。
- 高温下热膨胀系数和弹性模量会变化。因瓦合金在居里点附近膨胀急剧增大。
- 利用端部力的设计要考虑接点反力使位移减小。
- 看界面应力时，在端部附近加密单元，按分布形状而非数值本身判断。
“会跳动的双金属片”
电热水壶、电热毯的安全装置常用浅碟形双金属圆片。平板只会随温度成比例逐渐弯曲，而碟形在某一温度会突然“啪”地翻转。接点瞬间断开，不易产生电弧，也能防止缓慢断开烧坏接点。这是利用形状引起的跳跃屈曲的设计，分析时不考虑几何非线性就无法再现翻转。
常见错误
错误与对策
| 错误 | 后果 | 对策 |
|---|---|---|
| 宽板用梁公式 | 弯曲算错 | 用E/(1−ν) |
| 物性固定为常温值 | 高温时偏差 | 考虑温度依赖 |
| 按界面最大值判断 | 随网格变化 | 按分布和能量评估 |
| 碟形用线性分析 | 无法再现翻转 | 几何非线性 |
| 厚度方向1个单元 | 弯曲过刚 | 每层多个单元 |
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