傅里叶定律
理论与物理
什么是傅里叶定律
老师，我听说傅里叶定律是传热分析的基石，它为什么这么重要呢？
傅里叶定律是将“有温度梯度的地方就有热流”这一自然现象数学化的公式。由约瑟夫·傅里叶于1822年在其著作《热的解析理论》中提出。所有的热传导分析都从这里开始。
200年前的定律现在还在用，真了不起。
是的，就像牛顿力学始于F=ma一样，传热工程始于傅里叶定律。用向量形式写出来是这样的。
控制方程
傅里叶定律的基本形式是热流密度向量 $\mathbf{q}$ 与温度梯度的关系式。
这里 $k$ 是热导率 [W/(m K)]，$\nabla T$ 是温度梯度 [K/m]。负号反映了“热量从高温侧流向低温侧”这一热力学第二定律。
一维情况下会更简单吧？
没错。一维情况下偏微分变为常微分。
将其与能量守恒定律结合，就得到稳态热传导方程。
$\dot{q}_v$ 是单位体积内的内部发热量 [W/m3]。如果k是常数，则进一步简化为 $k \frac{d^2T}{dx^2} + \dot{q}_v = 0$。
如果没有内部发热，温度分布就是直线吗？
完全正确。对于平板，如果两面温度分别为 $T_1$、$T_2$，则 $T(x) = T_1 + (T_2 - T_1)\frac{x}{L}$，呈线性分布。这是验证解析解时常用的基本案例。
三维扩展
对于一般的三维问题，考虑各向异性材料，用张量形式书写。
如果是各向同性材料，则 $k_{ij} = k \delta_{ij}$，归结为拉普拉斯方程 $\nabla^2 T = 0$（无发热）或泊松方程 $\nabla^2 T + \frac{\dot{q}_v}{k} = 0$（有发热）。
像CFRP这样的复合材料，纤维方向和垂直方向的k值相差很大吧？
是的。CFRP的情况，纤维方向的热导率约为5〜10 W/(m K)，而垂直方向约为0.5〜1 W/(m K)。不用张量形式无法正确处理。
边界条件
边界条件有三种。
种类 名称 公式 物理意义 第1类 Dirichlet $T = T_s$ 指定表面温度 第2类 Neumann $-k \frac{\partial T}{\partial n} = q_s$ 指定热流密度 第3类 Robin $-k \frac{\partial T}{\partial n} = h(T - T_\infty)$ 对流换热
绝热条件就是Neumann条件中设 $q_s = 0$ 对吧。
没错。在实际工作中，第3类边界条件使用最频繁。对流换热系数 $h$ 的估算会极大地影响结果的精度。
Coffee Break 闲谈
傅里叶定律诞生的年份
约瑟夫·傅里叶在1822年的著作《热的解析理论》中提出了q = −k∇T。这个公式是传热工程的起点，即使在200多年后的现代FEA求解器中，它仍然作为基本控制方程被使用。
各项的物理意义
- 蓄热项 $\rho c_p \partial T/\partial t$：单位体积的热能储存率。【日常例子】铁锅难加热也难冷却，而铝锅易加热也易冷却——这是密度 $\rho$ 和比热 $c_p$ 的乘积（热容）的差异。热容大的物体温度变化缓慢。水的比热非常大（4,186 J/(kg·K)），因此沿海地区的气温比内陆更稳定。在非稳态分析中，此项决定了温度随时间的变化速率。
- 热传导项 $\nabla \cdot (k \nabla T)$：基于傅里叶定律的热传导。与温度梯度成比例的热流密度。【日常例子】将金属勺子放入热锅中，手柄也会变热——因为金属的热导率 $k$ 高，热量能快速从高温侧传到低温侧。木勺不会变热是因为 $k$ 小。隔热材料（如玻璃棉）的 $k$ 极小，即使有温度梯度，热量也难以传递。这是将“有温差的地方就有热流”这一自然趋势数学化的结果。
- 对流项 $\rho c_p \mathbf{u} \cdot \nabla T$：伴随流体运动的热量输送。【日常例子】吹风扇感到凉爽，是因为风（流体流动）带走了体表附近的热空气，并供应了新鲜的冷空气——这就是强制对流。暖气使房间天花板附近变暖，是因为被加热的空气因浮力上升的自然对流。PC的CPU散热器风扇也是通过强制对流散热。对流是比热传导高效得多的热量输送方式。
- 热源项 $Q$：内部发热（焦耳热、化学反应热、辐射线吸收等）。单位: W/m³。【日常例子】微波炉通过食品内部的微波吸收（体积发热）加热。电热毯的电热丝通过焦耳发热（$Q = I^2 R / V$）变暖。锂离子电池充放电时的发热、刹车片的摩擦热在分析中也需要作为热源考虑。与从外部对“表面”加热的边界条件不同，热源项表示“内部”的能量生成。
假设条件与适用范围
边界条件有三种。
| 种类 | 名称 | 公式 | 物理意义 |
|---|---|---|---|
| 第1类 | Dirichlet | $T = T_s$ | 指定表面温度 |
| 第2类 | Neumann | $-k \frac{\partial T}{\partial n} = q_s$ | 指定热流密度 |
| 第3类 | Robin | $-k \frac{\partial T}{\partial n} = h(T - T_\infty)$ | 对流换热 |
绝热条件就是Neumann条件中设 $q_s = 0$ 对吧。
没错。在实际工作中，第3类边界条件使用最频繁。对流换热系数 $h$ 的估算会极大地影响结果的精度。
傅里叶定律诞生的年份
约瑟夫·傅里叶在1822年的著作《热的解析理论》中提出了q = −k∇T。这个公式是传热工程的起点，即使在200多年后的现代FEA求解器中，它仍然作为基本控制方程被使用。
各项的物理意义
- 蓄热项 $\rho c_p \partial T/\partial t$：单位体积的热能储存率。【日常例子】铁锅难加热也难冷却，而铝锅易加热也易冷却——这是密度 $\rho$ 和比热 $c_p$ 的乘积（热容）的差异。热容大的物体温度变化缓慢。水的比热非常大（4,186 J/(kg·K)），因此沿海地区的气温比内陆更稳定。在非稳态分析中，此项决定了温度随时间的变化速率。
- 热传导项 $\nabla \cdot (k \nabla T)$：基于傅里叶定律的热传导。与温度梯度成比例的热流密度。【日常例子】将金属勺子放入热锅中，手柄也会变热——因为金属的热导率 $k$ 高，热量能快速从高温侧传到低温侧。木勺不会变热是因为 $k$ 小。隔热材料（如玻璃棉）的 $k$ 极小，即使有温度梯度，热量也难以传递。这是将“有温差的地方就有热流”这一自然趋势数学化的结果。
- 对流项 $\rho c_p \mathbf{u} \cdot \nabla T$：伴随流体运动的热量输送。【日常例子】吹风扇感到凉爽，是因为风（流体流动）带走了体表附近的热空气，并供应了新鲜的冷空气——这就是强制对流。暖气使房间天花板附近变暖，是因为被加热的空气因浮力上升的自然对流。PC的CPU散热器风扇也是通过强制对流散热。对流是比热传导高效得多的热量输送方式。
- 热源项 $Q$：内部发热（焦耳热、化学反应热、辐射线吸收等）。单位: W/m³。【日常例子】微波炉通过食品内部的微波吸收（体积发热）加热。电热毯的电热丝通过焦耳发热（$Q = I^2 R / V$）变暖。锂离子电池充放电时的发热、刹车片的摩擦热在分析中也需要作为热源考虑。与从外部对“表面”加热的边界条件不同，热源项表示“内部”的能量生成。
假设条件与适用范围
数值解法与实现
有限元法离散化
如何用计算机求解傅里叶定律呢？
从稳态热传导问题的弱形式（伽辽金法）出发。温度场 $T$ 用形函数 $N_i$ 近似。
应用弱形式并进行分部积分，得到单元级别的方程。
这里 $K^e_{ij} = \int_{\Omega_e} k \nabla N_i \cdot \nabla N_j \, d\Omega$ 是单元热传导矩阵，$f^e_i = \int_{\Omega_e} \dot{q}_v N_i \, d\Omega + \int_{\Gamma_e} q_s N_i \, d\Gamma$ 是单元热负荷向量。
和结构分析的刚度矩阵形式很像呢。
很好的着眼点。与结构的 $[K]\{u\}=\{F\}$ 在数学上是相同的结构。不过热分析的未知数是标量温度，所以每个节点的自由度只有1个。问题规模比结构分析小得多。
有限差分法·有限体积法
有限差分法（FDM）也常用于稳态热传导。用中心差分离散化，一维情况下为
有限体积法（FVM）将温度布置在单元中心，保证单元界面上的热流密度守恒。CFD求解器（Ansys Fluent, STAR-CCM+）基于FVM，因此在共轭换热分析中，固体侧也会自动用FVM离散化。
方法不同精度会变化吗？
FEM擅长复杂形状，使用高阶单元可获得高精度。FVM严格满足守恒定律，适合流体与固体的耦合。FDM易于实现但限于结构网格。区分使用很重要。
矩阵解法
组装完成的整体方程 $[K]\{T\}=\{f\}$，对于稳态热传导是线性的，所以一次求解即可。
| 解法 | 种类 | 特点 | 推荐规模 |
|---|---|---|---|
| Cholesky分解 | 直接法 | 最适合对称正定矩阵，精确 | 〜50万自由度 |
| PCG法 | 迭代法 | 内存效率良好 | 50万〜1000万自由度 |
| AMG预处理+CG | 迭代法 | 擅长大规模问题 | 1000万自由度以上 |
如果有温度依赖的热导率会怎样？
会变成非线性问题，需要迭代计算。用Newton-Raphson法逐步更新 $k(T)$。收敛判据通常取残差范数 $10^{-6}$ 左右，但有时也以温度变化量 $10^{-3}$ K 为基准。
热导率的测量方法
闪光法（激光闪光法）基于ASTM E1461标准，能以±3%的精度测量0.1〜2000 W/m·K的广泛范围。耐驰公司的LFA467装置作为一次试验可同时获取热扩散率、比热、热导率的标准设备，在世界各地被使用。
线性单元 vs 二次单元
在热传导分析中，通常线性单元也能获得足够的精度。在温度梯度陡峭的区域（如热冲击等）推荐使用二次单元。
热流密度评估
根据单元内的温度梯度计算得出。有时需要像节点应力一样进行平滑处理。
对流-扩散问题
当佩克莱数较高（对流主导）时，需要迎风稳定化（如SUPG等）。纯热传导问题则不需要。
非稳态分析的时间步长
设定比热扩散的特征时间 $\tau = L^2 / \alpha$（$\alpha$: 热扩散率）足够小的步长。对于急剧的温度变化...
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