von Mises塑性理論
理論と物理
von Mises塑性とは
先生、von Mises塑性理論はFEMの材料非線形の基本ですよね。
von Mises降伏条件は金属の塑性変形を記述する最も基本的な理論だ。「等価応力（von Mises応力）が降伏応力に達すると塑性変形が始まる」。
von Mises等価応力
または成分表示：
降伏条件
$f < 0$ なら弾性域。$f = 0$ で降伏面上（塑性変形）。$f > 0$ は許されない（降伏面の外には出ない）。
応力空間での「球面」が降伏面ですね。
偏差応力空間で見ると、von Mises降伏面は円筒だ。静水圧（体積応力）に依存しないのがvon Misesの特徴。金属の塑性変形は体積変化を伴わない（非圧縮塑性流れ）から、物理的に合理的。
硬化則
降伏後の応力-ひずみ関係（硬化則）：
| 硬化タイプ | 降伏面の変化 | 用途 |
|---|---|---|
| 完全弾塑性（完全塑性） | 降伏面が固定 | 崩壊荷重の評価 |
| 等方硬化 | 降伏面が膨張 | 単調載荷 |
| 移動硬化（キネマティック） | 降伏面が移動 | 繰り返し載荷（疲労） |
| 混合硬化 | 膨張＋移動 | 最も一般的 |
Abaqus
```
*MATERIAL, NAME=steel
*ELASTIC
200000., 0.3
*PLASTIC
250., 0.0 $ 降伏応力250 MPa, 塑性ひずみ0
400., 0.1 $ 400 MPa, 塑性ひずみ10%
500., 0.3 $ 500 MPa, 塑性ひずみ30%
```
Nastran
```
MAT1, 1, 200000., , 0.3
MATS1, 1, , PLASTIC, , , 1, 1
TABLES1, 1, , ,
, 0.0, 250., 0.1, 400., 0.3, 500., ENDT
```
応力-塑性ひずみのテーブルで硬化曲線を定義するんですね。
引張試験の公称応力-公称ひずみ曲線を真応力-真ひずみに変換してからFEMに入力。大変形解析では真応力-真ひずみが必須。
まとめ
要点：
- $\sigma_{vm} = \sigma_Y$ で降伏 — 金属の塑性の基本
- 静水圧に依存しない — 体積変化なし（金属の特徴）
- 硬化則 — 完全塑性/等方硬化/移動硬化/混合硬化
- 真応力-真ひずみでFEMに入力 — 公称値からの変換が必要
- 全FEMソルバーで標準 — 最も基本的な材料非線形モデル
von Misesの1913年論文
Richard von Misesは1913年にゲッティンゲン科学協会誌で、降伏条件をJ₂=k²（第二偏差応力不変量）で表現する基準を提案した。せん断ひずみエネルギーが臨界値に達すると降伏するという物理解釈はHencky（1924年）が追加した。主応力空間では円柱面として表れ、現在最も広く使われる降伏基準である。
各項の物理的意味
- 慣性項（質量項）：$\rho \ddot{u}$、つまり「質量×加速度」。急ブレーキで体が前に投げ出された経験はありませんか？ あの「持っていかれる感じ」がまさに慣性力です。重い物体ほど動き出しにくく、動き出したら止まりにくい。地震で建物が揺れるのも、地面が急に動いたのに建物の質量が「置いていかれる」から。静解析ではこの項をゼロにしますが、それは「ゆっくり力をかけるから加速度は無視できる」という仮定です。衝撃荷重や振動問題では絶対に省略できません。
- 剛性項（弾性復元力）：$Ku$ や $\nabla \cdot \sigma$。ばねを引っ張ると「戻ろうとする力」を感じますよね？ あれがフックの法則 $F=kx$ であり、剛性項の本質です。では質問——鉄の棒とゴム紐、同じ力で引っ張るとどちらが伸びるでしょうか？ 当然ゴムです。この「伸びにくさ」がヤング率 $E$ であり、剛性を決めます。よくある勘違い：「剛性が高い＝強い」ではありません。剛性は「変形しにくさ」、強度は「壊れにくさ」で、別の概念です。
- 外力項（荷重項）：体積力 $f_b$（重力など）と表面力 $f_s$（圧力、接触力など）。こう考えてみてください——橋の上のトラックの重さは「中身全体にかかる力」（体積力）、タイヤが路面を押す力は「表面だけにかかる力」（表面力）。風圧、水圧、ボルトの締付力…すべて外力です。ここでありがちな失敗：荷重の方向を間違える。「引張」のつもりが「圧縮」になっていた——笑い話に聞こえますが、3D空間で座標系が回転していると実際に起こります。
- 減衰項：レイリー減衰 $C\dot{u} = (\alpha M + \beta K)\dot{u}$。ギターの弦を弾いてみてください。音は鳴り続けますか？ いいえ、徐々に小さくなりますよね。振動エネルギーが空気抵抗や弦の内部摩擦で熱に変わるからです。車のショックアブソーバーも同じ原理——わざと振動エネルギーを吸収して乗り心地を良くしています。もし減衰がゼロだったら？ 建物は地震の後いつまでも揺れ続けることになります。実際にはそうならないので、適切な減衰の設定が重要です。
仮定条件と適用限界
次元解析と単位系
| 変数 | SI単位 | 注意点・換算メモ |
|---|---|---|
| 変位 $u$ | m（メートル） | mm入力時は荷重・弾性率もMPa/N系に統一すること |
| 応力 $\sigma$ | Pa（パスカル）= N/m² | MPa = 10⁶ Pa。降伏応力との比較時に単位系の不一致に注意 |
| 歪み $\varepsilon$ | 無次元（m/m） | 工学歪みと対数歪みの区別に注意（大変形時） |
| 弾性率 $E$ | Pa | 鋼: 約210 GPa、アルミ: 約70 GPa。温度依存性に注意 |
| 密度 $\rho$ | kg/m³ | mm系ではtonne/mm³（= 10⁻⁹ tonne/mm³ for 鋼） |
| 力 $F$ | N（ニュートン） | mm系ではN、m系ではNで統一 |
数値解法と実装
Return Mappingアルゴリズム
先生、塑性の数値処理はどうやるんですか？
Return Mapping（応力戻し）アルゴリズムが標準：
1. 弾性予測子（elastic predictor） — ひずみ増分を全て弾性として仮の応力を計算
2. 降伏判定 — 仮の応力が降伏面の外にあるか？
3. 塑性補正子（plastic corrector） — 降伏面の外なら、応力を降伏面上に「戻す」
「弾性で仮計算→降伏面に戻す」の2ステップですか。
von Mises塑性の場合、この戻しは半径方向戻し（radial return）で厳密に計算できる。非常に効率的で安定。全ての商用ソルバーで実装されている。
接線剛性マトリクス（CTO）
塑性状態での接線剛性（Consistent Tangent Operator, CTO）：
$$ [D_{ep}] = [D_e] - \frac{[D_e]\{n\}\{n\}^T[D_e]}{\{n\}^T[D_e]\{n\} + H} $$
塑性状態での接線剛性（Consistent Tangent Operator, CTO）：
$H$ は硬化係数。$\{n\}$ は降伏面の法線。CTOがNewton-Raphson法の2次収束を保証する。
まとめ
ラジアルリターンマッピング
von Mises+等方硬化のFEM実装には「ラジアルリターンマッピング」が使われる。弾性予測→降伏面超過の確認→接線方向への戻しという3ステップで構成され、Simo & Taylor（1985年）が線形収束を証明。1反復で厳密な解が得られる（切線弾性率を使えば）ため計算コストが低く、ほぼすべての汎用ソルバーで採用されている。
線形要素（1次要素）
節点間を線形補間。計算コストは低いが、応力の精度が低い。せん断ロッキングに注意（低減積分やB-bar法で緩和）。
2次要素（中間節点付き）
曲線的な変形を表現可能。応力精度が大幅に向上するが、自由度は約2〜3倍に増加。推奨：応力評価が重要な場合。
完全積分 vs 低減積分
完全積分：過剰拘束（ロッキング）のリスク。低減積分：アワーグラスモード（零エネルギーモード）のリスク。適材適所で選択。
アダプティブメッシュ
誤差指標（ZZ推定量等）に基づく自動細分化。応力集中部の精度を効率的に向上。h法（要素分割）とp法（次数増加）がある。
ニュートン・ラフソン法
非線形解析の標準的手法。接線剛性マトリクスを毎反復更新。収束半径内で2次収束するが、計算コストが高い。
修正ニュートン・ラフソン法
接線剛性マトリクスを初期値または数反復毎に更新。各反復のコストは低いが、収束速度は線形的。
収束判定基準
力の残差ノルム: $||R|| / ||F_{ext}|| < \epsilon$（一般に $\epsilon = 10^{-3}$〜$10^{-6}$）。変位増分ノルム: $||\Delta u|| / ||u|| < \epsilon$。エネルギーノルム: $\Delta u \cdot R < \epsilon$
荷重増分法
全荷重を一度に負荷せず、小刻みに増加させる。弧長法（Riks法）は荷重-変位関係の極値点を越えて追跡可能。
直接法 vs 反復法のたとえ
直接法は「連立方程式を筆算で正確に解く」方法——確実だが大規模問題では時間がかかりすぎる。反復法は「当て推量を繰り返して正解に近づく」方法——最初は大雑把な答えだが、反復するたびに精度が上がる。辞書で言葉を探すとき、最初のページから順番に探す（直接法）より、見当をつけて開き、前後に調整する（反復法）方が効率的なのと同じ原理。
メッシュの次数と精度の関係
1次要素は「定規で曲線を近似する」——直線の折れ線で表現するため精度に限界がある。2次要素は「フレキシブルカーブ」——曲線的な変化を表現でき、同じメッシュ密度でも格段に精度が向上する。ただし、1要素あたりの計算コストは増えるため、トータルのコスト対効果で判断する。
実践ガイド
塑性解析の実務
von Mises塑性はどんな場面で使いますか？
金属構造の全ての非線形強度評価：
| 適用 | 目的 |
|---|---|
| 耐圧試験の弾塑性解析 | 圧力容器のASME Div.2 Part 5 |
| 塑性崩壊荷重の評価 | 限界荷重法（2倍の設計荷重で収束するか） |
| 板金成形（プレス） | 変形後の形状とスプリングバック |
| 溶接残留応力 | 溶接→冷却の熱弾塑性解析 |
| 地震の弾塑性時刻歴 | 塑性ヒンジの形成 |
真応力-真ひずみの変換
引張試験データ（公称応力-公称ひずみ）からFEM入力への変換：
1. 一様伸び以下 — $\sigma_{true} = \sigma_{eng}(1+\varepsilon_{eng})$, $\varepsilon_{true} = \ln(1+\varepsilon_{eng})$
2. 一様伸び以上（ネッキング後） — 上記の変換は不正確。逆解析や修正式が必要
3. 塑性ひずみ — $\varepsilon_{pl} = \varepsilon_{true} - \sigma_{true}/E$
ネッキング後の変換が難しいんですね。
ネッキングが始まると応力状態が一軸ではなくなる（三軸応力）。単純な変換式は不正確。Bridgman補正や逆FEM法（FEMの結果と試験の力-変位曲線を合わせてフィッティング）が必要。
実務チェックリスト
自動車クラッシュ解析の主役
自動車の前面衝突解析（NCAP準拠）ではフロントサイドメンバーにSPCC（冷延鋼板）のvon Mises+等方硬化則を適用するのが標準。LS-DYNAのMAT_024+MATSUMOTOスプリングバックモデルを組み合わせ、クラッシュストローク200mmの最大荷重予測誤差を±8%以内に収める設計が2000年代以降の業界標準となっている。
解析フローのたとえ
解析の流れは、実は料理とそっくりです。まず材料を買い出し（CADモデルの準備）、下ごしらえをして（メッシュ生成）、火にかけて（ソルバー実行）、最後に盛り付ける（後処理で可視化）。ここで大事な問いかけ——料理で一番失敗しやすい工程はどこでしょう？ 実は「下ごしらえ」なんです。メッシュの品質が悪いと、どんなに優秀なソルバーを使っても結果はめちゃくちゃになります。
初心者が陥りやすい落とし穴
あなたはメッシュ収束性を確認していますか？ 「計算が回った＝結果が正しい」と思っていませんか？ これ、実はCAE初心者が最も陥りやすい罠です。ソルバーは与えられたメッシュで「それなりの答え」を必ず返します。でもメッシュが粗すぎれば、その答えは現実から大きくずれている。最低3段階のメッシュ密度で結果が安定することを確認する——これを怠ると「コンピュータが出した答えだから正しいはず」という危険な思い込みに陥ります。
境界条件の考え方
境界条件の設定は、試験の「問題文を書く」のと同じです。問題文が間違っていたら？ どんなに正確に計算しても答えは間違いますよね。「この面は本当に完全固定なのか」「この荷重は本当に一様分布なのか」——現実の拘束条件を正しくモデル化することが、実は解析全体で最も重要なステップだったりします。
ソフトウェア比較
von Mises塑性のツール
全FEMソルバーで標準対応。差はない。
| ソルバー | 設定 |
|---|---|
| Abaqus | *PLASTIC テーブル |
| Nastran | MATS1 + TABLES1 |
| Ansys | TB, BISO or TB, MISO |
| LS-DYNA | *MAT_24（弾塑性） |
LS-DYNAのMAT_24が衝突安全で最も広く使われる材料モデルですよね。
MAT_24はvon Mises弾塑性 + 等方硬化 + ひずみ速度依存（Cowper-Symonds）。自動車の鋼板の衝突解析で事実上の唯一の選択肢。
選定ガイド
すべての主要ソルバーで対応
von Mises降伏基準はすべての商用CAEソルバーで標準実装されている。Abaqus（*PLASTIC）、LS-DYNA（MAT_024）、MSC Nastran（SOL 400 MATS1）、ANSYS Mechanical（Bilinear/Multilinear Isotropic）、Marc（Yield Criterion=VonMises）。1950年代のFEMの黎明期から実装されてきた最も歴史の長い非線形材料モデルである。
選定で最も重要な3つの問い
- 「何を解くか」：von Mises塑性理論に必要な物理モデル・要素タイプが対応しているか。例えば、流体ではLES対応の有無、構造では接触・大変形の対応能力が差になる。
- 「誰が使うか」：初心者チームならGUIが充実したツール、経験者ならスクリプト駆動の柔軟なツールが適する。自動車のAT車（GUI）とMT車（スクリプト）の違いに似ている。
- 「どこまで拡張するか」：将来の解析規模拡大（HPC対応）、他部門への展開、他ツールとの連携を見据えた選択が長期的なコスト削減につながる。
先端技術
結晶塑性（Crystal Plasticity）
von Misesは巨視的な等方性塑性だが、実際の金属は多結晶体。各結晶粒のすべり系ごとに塑性を計算する結晶塑性（Crystal Plasticity FEM, CPFEM）が研究されている。集合組織（テクスチャ）の発展、異方性の進展を予測可能。
延性破壊との連成
von Mises塑性 + 延性破壊基準（Johnson-Cook, Gurson等）の連成。大塑性ひずみで材料が破壊する。衝突や成形の破壊予測に不可欠。
機械学習による構成則
応力-ひずみ関係をニューラルネットワークで学習する「データ駆動構成則」。von Misesの仮定を超えて、任意の材料応答を表現可能。
まとめ
GTN多孔質損傷モデル
Gurson（1977年）の多孔質塑性モデルはvon Mises基準にボイド体積率fを追加し、延性破壊を表現する。TvergaardとNeedleman（1984年）がパラメータq₁〜q₃を導入しGTNモデルとして完成。現在では厚板の深絞り解析やHigh-Strength Steel（HSS）の穴広げ解析にAbaqus UMATとして広く使われている。
トラブルシューティング
von Mises塑性のトラブル
塑性解析でよくあるトラブルは？
応力が降伏応力を超える
von Mises応力が降伏応力より大きい…硬化の影響。等方硬化では降伏面が膨張するから、$\sigma_{vm} > \sigma_{Y,initial}$ は正常。塑性ひずみに対応する硬化後の降伏応力と比較すべき。
公称応力-公称ひずみをそのまま入力してしまった
FEMに公称値を入力すると：
- 小ひずみ（< 5%）ではほぼ正確
- 大ひずみ（> 10%）では応力を過小評価、ひずみを過大評価
対策：真応力-真塑性ひずみに変換してから入力。
Newton-Raphsonが収束しない
塑性変形が大きい場合：
- 荷重増分を小さくする
- 自動時間刻みを有効化
- NLGEOM=YESが設定されているか確認（大塑性ひずみは大変形を伴う）
体積ロッキング
塑性変形は非圧縮（$\Delta V = 0$）。1次要素の完全積分で体積ロッキング。
対策：
- C3D8R（低減積分）or C3D8RH（ハイブリッド）
- C3D10M（改良TET10）
- B-bar法（LS-DYNA ELFORM=2）
まとめ
体積ロッキングへの対応
完全非圧縮性塑性（ν≈0.5）で通常の8節点ヘキサ要素を使うと体積ロッキングが発生し、変位が過小評価される。対策は選択的低減積分（Abaqus C3D8R）または非圧縮条件を陽的に扱うmixed要素（C3D8H）の使用。一般に硬化なしの完全塑性解析では低減積分要素で砂時計制御を追加するのが最も安全な選択だ。
「解析が合わない」と思ったら
- まず深呼吸——焦って設定をランダムに変えると、問題がさらに複雑になる
- 最小再現ケースを作る——von Mises塑性理論の問題を最も単純な形で再現する。「引き算のデバッグ」が最も効率的
- 1つだけ変えて再実行——複数の変更を同時に行うと、何が効いたか分からなくなる。科学実験と同じ「対照実験」の原則
- 物理に立ち返る——計算結果が「重力に逆らって物が浮く」ような非物理的な結果なら、入力データの根本的な間違いを疑う
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