von Mises塑性理論
von Mises塑性理論の理論基礎
von Mises塑性とは
先生、von Mises塑性理論はFEMの材料非線形の基本ですよね。
von Mises降伏条件は金属の塑性変形を記述する最も基本的な理論だ。「等価応力（von Mises応力）が降伏応力に達すると塑性変形が始まる」。
von Mises等価応力
または成分表示：
降伏条件
$f < 0$ なら弾性域。$f = 0$ で降伏面上（塑性変形）。$f > 0$ は許されない（降伏面の外には出ない）。
応力空間での「球面」が降伏面ですね。
偏差応力空間で見ると、von Mises降伏面は円筒だ。静水圧（体積応力）に依存しないのがvon Misesの特徴。金属の塑性変形は体積変化を伴わない（非圧縮塑性流れ）から、物理的に合理的。
硬化則
降伏後の応力-ひずみ関係（硬化則）：
| 硬化タイプ | 降伏面の変化 | 用途 |
|---|---|---|
| 完全弾塑性（完全塑性） | 降伏面が固定 | 崩壊荷重の評価 |
| 等方硬化 | 降伏面が膨張 | 単調載荷 |
| 移動硬化（キネマティック） | 降伏面が移動 | 繰り返し載荷（疲労） |
| 混合硬化 | 膨張＋移動 | 最も一般的 |
Abaqus
```
*MATERIAL, NAME=steel
*ELASTIC
200000., 0.3
*PLASTIC
250., 0.0 $ 降伏応力250 MPa, 塑性ひずみ0
400., 0.1 $ 400 MPa, 塑性ひずみ10%
500., 0.3 $ 500 MPa, 塑性ひずみ30%
```
Nastran
```
MAT1, 1, 200000., , 0.3
MATS1, 1, , PLASTIC, , , 1, 1
TABLES1, 1, , ,
, 0.0, 250., 0.1, 400., 0.3, 500., ENDT
```
応力-塑性ひずみのテーブルで硬化曲線を定義するんですね。
引張試験の公称応力-公称ひずみ曲線を真応力-真ひずみに変換してからFEMに入力。大変形解析では真応力-真ひずみが必須。
まとめ
要点：
- $\sigma_{vm} = \sigma_Y$ で降伏 — 金属の塑性の基本
- 静水圧に依存しない — 体積変化なし（金属の特徴）
- 硬化則 — 完全塑性/等方硬化/移動硬化/混合硬化
- 真応力-真ひずみでFEMに入力 — 公称値からの変換が必要
- 全FEMソルバーで標準 — 最も基本的な材料非線形モデル
von Misesの1913年論文
Richard von Misesは1913年にゲッティンゲン科学協会誌で、降伏条件をJ₂=k²（第二偏差応力不変量）で表現する基準を提案した。せん断ひずみエネルギーが臨界値に達すると降伏するという物理解釈はHencky（1924年）が追加した。主応力空間では円柱面として表れ、現在最も広く使われる降伏基準である。
von Mises塑性理論の数値計算手法
Return Mappingアルゴリズム
先生、塑性の数値処理はどうやるんですか？
Return Mapping（応力戻し）アルゴリズムが標準：
1. 弾性予測子（elastic predictor） — ひずみ増分を全て弾性として仮の応力を計算
2. 降伏判定 — 仮の応力が降伏面の外にあるか？
3. 塑性補正子（plastic corrector） — 降伏面の外なら、応力を降伏面上に「戻す」
「弾性で仮計算→降伏面に戻す」の2ステップですか。
von Mises塑性の場合、この戻しは半径方向戻し（radial return）で厳密に計算できる。非常に効率的で安定。全ての商用ソルバーで実装されている。
接線剛性マトリクス（CTO）
塑性状態での接線剛性（Consistent Tangent Operator, CTO）：
$H$ は硬化係数。$\{n\}$ は降伏面の法線。CTOがNewton-Raphson法の2次収束を保証する。
まとめ
ラジアルリターンマッピング
von Mises+等方硬化のFEM実装には「ラジアルリターンマッピング」が使われる。弾性予測→降伏面超過の確認→接線方向への戻しという3ステップで構成され、Simo & Taylor（1985年）が線形収束を証明。1反復で厳密な解が得られる（切線弾性率を使えば）ため計算コストが低く、ほぼすべての汎用ソルバーで採用されている。
von Mises塑性理論の実務適用
塑性解析の実務
von Mises塑性はどんな場面で使いますか？
金属構造の全ての非線形強度評価：
| 適用 | 目的 |
|---|---|
| 耐圧試験の弾塑性解析 | 圧力容器のASME Div.2 Part 5 |
| 塑性崩壊荷重の評価 | 限界荷重法（2倍の設計荷重で収束するか） |
| 板金成形（プレス） | 変形後の形状とスプリングバック |
| 溶接残留応力 | 溶接→冷却の熱弾塑性解析 |
| 地震の弾塑性時刻歴 | 塑性ヒンジの形成 |
真応力-真ひずみの変換
引張試験データ（公称応力-公称ひずみ）からFEM入力への変換：
1. 一様伸び以下 — $\sigma_{true} = \sigma_{eng}(1+\varepsilon_{eng})$, $\varepsilon_{true} = \ln(1+\varepsilon_{eng})$
2. 一様伸び以上（ネッキング後） — 上記の変換は不正確。逆解析や修正式が必要
3. 塑性ひずみ — $\varepsilon_{pl} = \varepsilon_{true} - \sigma_{true}/E$
ネッキング後の変換が難しいんですね。
ネッキングが始まると応力状態が一軸ではなくなる（三軸応力）。単純な変換式は不正確。Bridgman補正や逆FEM法（FEMの結果と試験の力-変位曲線を合わせてフィッティング）が必要。
実務チェックリスト
自動車クラッシュ解析の主役
自動車の前面衝突解析（NCAP準拠）ではフロントサイドメンバーにSPCC（冷延鋼板）のvon Mises+等方硬化則を適用するのが標準。LS-DYNAのMAT_024+MATSUMOTOスプリングバックモデルを組み合わせ、クラッシュストローク200mmの最大荷重予測誤差を±8%以内に収める設計が2000年代以降の業界標準となっている。
von Mises塑性理論のソフトウェア比較
von Mises塑性のツール
全FEMソルバーで標準対応。差はない。
| ソルバー | 設定 |
|---|---|
| Abaqus | *PLASTIC テーブル |
| Nastran | MATS1 + TABLES1 |
| Ansys | TB, BISO or TB, MISO |
| LS-DYNA | *MAT_24（弾塑性） |
LS-DYNAのMAT_24が衝突安全で最も広く使われる材料モデルですよね。
MAT_24はvon Mises弾塑性 + 等方硬化 + ひずみ速度依存（Cowper-Symonds）。自動車の鋼板の衝突解析で事実上の唯一の選択肢。
選定ガイド
すべての主要ソルバーで対応
von Mises降伏基準はすべての商用CAEソルバーで標準実装されている。Abaqus（*PLASTIC）、LS-DYNA（MAT_024）、MSC Nastran（SOL 400 MATS1）、ANSYS Mechanical（Bilinear/Multilinear Isotropic）、Marc（Yield Criterion=VonMises）。1950年代のFEMの黎明期から実装されてきた最も歴史の長い非線形材料モデルである。
von Mises塑性理論の先端研究
結晶塑性（Crystal Plasticity）
von Misesは巨視的な等方性塑性だが、実際の金属は多結晶体。各結晶粒のすべり系ごとに塑性を計算する結晶塑性（Crystal Plasticity FEM, CPFEM）が研究されている。集合組織（テクスチャ）の発展、異方性の進展を予測可能。
延性破壊との連成
von Mises塑性 + 延性破壊基準（Johnson-Cook, Gurson等）の連成。大塑性ひずみで材料が破壊する。衝突や成形の破壊予測に不可欠。
機械学習による構成則
応力-ひずみ関係をニューラルネットワークで学習する「データ駆動構成則」。von Misesの仮定を超えて、任意の材料応答を表現可能。
まとめ
GTN多孔質損傷モデル
Gurson（1977年）の多孔質塑性モデルはvon Mises基準にボイド体積率fを追加し、延性破壊を表現する。TvergaardとNeedleman（1984年）がパラメータq₁〜q₃を導入しGTNモデルとして完成。現在では厚板の深絞り解析やHigh-Strength Steel（HSS）の穴広げ解析にAbaqus UMATとして広く使われている。
von Mises塑性理論のトラブル対応
von Mises塑性のトラブル
塑性解析でよくあるトラブルは？
応力が降伏応力を超える
von Mises応力が降伏応力より大きい…硬化の影響。等方硬化では降伏面が膨張するから、$\sigma_{vm} > \sigma_{Y,initial}$ は正常。塑性ひずみに対応する硬化後の降伏応力と比較すべき。
公称応力-公称ひずみをそのまま入力してしまった
FEMに公称値を入力すると：
- 小ひずみ（< 5%）ではほぼ正確
- 大ひずみ（> 10%）では応力を過小評価、ひずみを過大評価
対策：真応力-真塑性ひずみに変換してから入力。
Newton-Raphsonが収束しない
塑性変形が大きい場合：
- 荷重増分を小さくする
- 自動時間刻みを有効化
- NLGEOM=YESが設定されているか確認（大塑性ひずみは大変形を伴う）
体積ロッキング
塑性変形は非圧縮（$\Delta V = 0$）。1次要素の完全積分で体積ロッキング。
対策：
- C3D8R（低減積分）or C3D8RH（ハイブリッド）
- C3D10M（改良TET10）
- B-bar法（LS-DYNA ELFORM=2）
まとめ
体積ロッキングへの対応
完全非圧縮性塑性（ν≈0.5）で通常の8節点ヘキサ要素を使うと体積ロッキングが発生し、変位が過小評価される。対策は選択的低減積分（Abaqus C3D8R）または非圧縮条件を陽的に扱うmixed要素（C3D8H）の使用。一般に硬化なしの完全塑性解析では低減積分要素で砂時計制御を追加するのが最も安全な選択だ。
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