激波管问题（Riemann求解器）

激波管问题（以Sod问题为代表的一维Riemann问题）是评估可压缩流数值格式精度和稳定性的最基本基准。由于可以分析得到严格解，因此通过与数值解比较，可以定量评估数值扩散、超调、激波分辨率。

将其表述为一维Euler方程的初值问题。管中央有隔膜（隔板），左侧为高压状态 $(\rho_L, u_L, p_L)$，右侧为低压状态 $(\rho_R, u_R, p_R)$。隔膜破裂时，产生3种波。

一维Euler方程的保存形式如下。

激波跨越的守恒律导出Rankine-Hugoniot关系式。设激波速度为 $s$，则

这是接触不连续面左右的区域，压力和速度相等（$p^* = p_L^* = p_R^*$，$u^* = u_L^* = u_R^*$），但密度产生不连续。此 $p^*$ 的求解方程非线性，需用Newton-Raphson法迭代求解。

Godunov的想法是从局部Riemann问题的解来求每个单元界面处的通量。在单元 $i$ 和 $i+1$ 的边界，由左状态 $\mathbf{U}_i$ 和右状态 $\mathbf{U}_{i+1}$ 组成Riemann问题，求解得到界面通量 $\mathbf{F}_{i+1/2}$。

精确Riemann求解器每次都需要Newton法迭代，计算成本很高。因此开发了许多实用的近似Riemann求解器。让我比较代表性的几种。

HLL只考虑2条波，所以接触不连续面（第3条波）的信息丢失了。HLLC中C代表接触波（Contact wave），通过添加第3条波，可以分辨接触不连续面。Toro的教科书中有详细的推导。

Roe的想法是在界面处对非线性Euler方程进行线性化。使用Roe平均状态构造雅可比矩阵 $\hat{A}$，

膨胀激波（expansion shock）是个问题，这是非物理解，违反熵条件。需要用Harten-Hyman熵修正来矫正。另外，在低马赫数区域会出现过度的数值扩散，需要低马赫Roe修正（如Rieper修正等）。

用MUSCL（单调上风格式守恒律）法实现二阶精度是标准做法。在单元界面处用线性重构外推左右状态。

Sod（1978年）的标准初始条件如下。管长为1，隔膜位置在 $x = 0.5$。

使用 `rhoCentralFoam`。在 `0/` 目录的初始条件用 `setFields` 工具设置最简单。在 `system/setFieldsDict` 中定义左右状态后执行。网格在 `blockMeshDict` 中一维配置1000个左右的单元即足够。

标准的评估方法有4个角度。

1. 激波分辨率：激波被捕捉了多少个网格。理想为2～3个单元。5个以上是数值扩散过度。

有几个标准问题，各自测试不同方面。

正是。激波进入正弦波状的熵扰动，激波后方产生高频密度振荡。一阶或扩散大的格式会让这种高频成分消失。WENO5、MP5这类高阶精度格式的性能评估非常合适。

汇总各软件的对应情况。

好眼力。KT格式不求解Riemann问题，而是用局部最大波速控制数值粘性的中心差分系格式。实装简单且鲁棒，但接触不连续面的分辨率不如Roe或HLLC。若要在OpenFOAM中用Roe求解器，可在 `rhoPimpleFoam` 中实装自定义通量，或使用blastFOAM这样的第三方库。

Fluent GUI中的步骤如下。

当然可以。Fluent Journal文件运行参数研究是实务中常见做法。改变初始压力比或网格密度，批量执行，验证网格收敛性很方便。

SU2有二阶MUSCL重构作为默认，JST（Jameson-Schmidt-Turkel）格式的人工扩散参数也可调。配置文件（.cfg）的指定如下。

正确。越接近0就越接近一阶精度，振荡消失但扩散增加。对激波管问题，0.05～0.1是较平衡的值。

可压缩流中最研究广泛的高阶精度格式是WENO（本质无振荡加权）格式。基本思想是从多个模板候选中用非线性权重选择最优插值。

WENO5（五阶精度）用3个3点模板的加权组合实现5阶精度。激波附近自动将权重集中在不振荡的模板上，光滑区域全模板等权贡献，发挥高阶精度。

遗憾的是，主要商用CFD软件（Fluent、STAR-CCM+、CFX）未标配WENO。能用的是开源或研究代码。OpenFOAM有blastFOAM项目的WENO实装。JAXA的FaSTAR和DLR的TAU代码也有实装。

DG法是在单元内用高阶多项式近似，在单元界面用Riemann求解器求通量——这是有限元法和Godunov格式的混合体。可以达到任意高阶精度，与非结构网格兼容性好。

对激波管问题应用DG法需注意不连续附近的Gibbs振荡对策。常用方法有以下几种。

Fluent最新版（2024R2以后）试验性地导入了与Poly-Hexcore网格搭配的DG法基求解器。开源有Nektar++、Flexi、HOPR等提供DG法可压缩流求解器。

应用领域很多。让我介绍几个。

MHD中由于磁场作用，有快磁音波、慢磁音波、Alfven波、接触不连续面这7个特征速度。HLLD求解器有效地近似了这些，在宇宙物理数值仿真中广泛使用。

不连续面附近的超调/欠调是高阶格式的宿命。应对选项整理如下。

Fluent中的有效做法是先用First Order Upwind求到收敛，再以此解为初值改为Second Order，交替迭代。又或在Solution Methods中将Gradient Limiter的Method从Standard改为Multidimensional Limiter，也能抑制振荡。

Carbuncle现象是强垂直激波的数值解表现出格子依赖的非物理不稳定结构的问题。Roe系格式特别容易发生。当激波面平行于网格配置时，激波面上出现不规则凹凸增长。

对策有几种。

也是原因之一。AUSM系在激波稳定性上优越，通用求解器的默认值适合这一点。

Godunov系格式在低马赫数时产生过度数值扩散。这是通量散逸项以 $O(1/M)$ 比例缩放的结果。应对方法如下。

全速度格式是活跃的研究领域，STAR-CCM+的Coupled Flow求解器就是这个思路。在非压缩极限和可压缩性都能用一个框架处理是强项。