DEM-CFD連成

その通り。DEM（Discrete Element Method：離散要素法）で個々の粒子の運動を追跡し、CFDで流体場を解く。両者を双方向にカップリングすることで、粒子-流体間の相互作用を再現する手法だ。

決定的な違いは粒子間接触の扱いだ。DPMでは粒子同士の衝突は簡易モデル（確率的な衝突）か無視だが、DEMでは粒子間の接触力を弾性ばね-ダッシュポットモデルで厳密に計算する。だから粉体・顆粒のように粒子間力が重要な系に向いている。

各粒子 $i$ の並進運動と回転運動を追跡する。

$\mathbf{F}_{c,ij}$ は粒子 $j$ との接触力で、Hertz-Mindlinモデルが代表的だ。法線方向の接触力は次のように表される。

ここで $E^$ は等価ヤング率、$R^$ は等価半径、$\delta_n$ は重なり量、$\gamma_n$ は減衰係数だ。

局所平均化したNavier-Stokes方程式を解く。粒子の存在によるボイド率 $\varepsilon_f$ を考慮する。

$\mathbf{S}_p$ は粒子から流体への反力（運動量ソース項）で、CFDセル内の全粒子に作用する流体力の和を体積で割ったものだ。

最も重要なのは抗力で、局所ボイド率に依存する抗力モデルを使う。

圧力勾配力、仮想質量力、Saffman揚力、Magnus力なども考慮できるが、密度比 $\rho_p / \rho_f \gg 1$（粉体-空気系など）では抗力が支配的で、他の力は省略可能な場合が多い。

基本的な連成スキームを説明しよう。

1. CFDタイムステップ $\Delta t_{CFD}$ で流体場を解く

DEMのタイムステップは接触力計算のために非常に小さく、Rayleigh時間の20〜30%が目安だ。

典型的にはCFDの1ステップに対してDEMを100〜1000サブステップ実行する。これがDEM-CFDの計算コストの主因だ。

CFDセルに含まれる粒子の体積から計算する。粒子がセル境界をまたぐ場合の処理には以下のアプローチがある。

CFDセルサイズは粒子径の3〜5倍以上であることがunresolved DEM-CFDの前提条件だ。セルが粒子より小さいとボイド率の定義が破綻する。

unresolvedは粒子径がCFDメッシュより小さく、抗力モデルで相互作用を表現する。resolvedは粒子径がメッシュより大きく、粒子表面のflow fieldを直接解像する。Immersed Boundary法やOverset Meshで実現するが、粒子数は数百個程度に限られる。

流動層リアクターを例に説明しよう。

1. 粒子物性の決定: 粒径分布、密度、ヤング率、反発係数、摩擦係数

Hertz-Mindlinモデルのパラメータ設定が重要だ。

実際の材料のヤング率（ガラス: 70 GPa）を使うとDEMタイムステップが極端に小さくなり、計算が非現実的な時間を要する。$10^7$〜$10^8$ Pa程度に下げても、粒子の流動挙動はほとんど変わらないことが多くの研究で示されている。ただし反発係数や接触時間が変わるので、キャリブレーションは必要だ。

最も一般的なのは安息角（angle of repose）のキャリブレーションだ。実験で粒子を筒から排出して形成される山の角度を測定し、DEMの摩擦係数を調整して合わせる。

安息角だけでは一意にパラメータが決まらないので、排出流量やドラム回転試験など複数の実験を組み合わせて検証するのが理想的だ。

大きく分けて、ネイティブ実装と外部連成の2タイプがある。

ネイティブ実装（Fluent DEM, STAR-CCM+ DEM）はセットアップが容易でデータ交換のオーバーヘッドが少ない。ただしDEM機能の成熟度はEDEMやRocky DEMには及ばない。

EDEMは粒子形状（ポリヘドラル、繊維状）の自由度が高く、Rocky DEMはGPUでの大規模計算に強い。数百万粒子の計算ならRocky DEMのGPU実装が圧倒的に速い。

LIGGGHTS + OpenFOAMの組み合わせで、学術分野で最も広く使われている。カスタマイズの自由度が高く、新しい抗力モデルや連成スキームの実装が容易だ。ただしGUIがなく、設定はすべてスクリプトベースになる。

いくつかの方向性を紹介しよう。

粒子数を減らすため、1つの「代表粒子」で複数の実粒子を表現するcoarse-graining（粗視化）法が注目されている。代表粒子の径を実粒子の$k$倍にすると、粒子数は$k^3$分の1になる。

適切なスケーリング則が必要だ。力のスケーリングとして、Sakai et al.（2009）のcoarse-grainingモデルでは抗力を$k^3$倍に補正する。Exact Scaling法、Statistical Scaling法など複数の流派がある。

実際の粉体は球形ではない。非球形粒子の取り扱いが重要な研究テーマだ。

EDEMはMulti-sphere法が標準で、複雑な形状をオーバーラップする球の集合体で近似する。Rocky DEMはPolyhedra法をサポートしており、より忠実な形状表現が可能だ。

DNSやLBM（格子ボルツマン法）で計算した詳細な流体力データを教師データとして、ニューラルネットワークで抗力モデルを構築する研究が進んでいる。Beetstra et al.やTang et al.のモデルが代表的だ。

特に高ボイド率の遷移領域や非球形粒子の抗力では、従来の相関式より大幅に精度が向上する。ただしDNSデータの生成自体が計算コストが高い課題がある。

順番に見ていこう。

症状: 粒子が壁面やCFDドメインの外に出てしまう。

対策:

対策:

原因と対策:

症状: 粒子が固まったまま動かない。

対策: