化学種輸送方程式

そのとおり。化学種輸送方程式は、流体中の各化学成分（CH4, O2, CO2, H2O, CO, NOなど）の質量分率がどう変化するかを記述する方程式だ。燃焼CFDのあらゆるモデル（EDC, Flamelet, Species Transport + Finite Rate Chemistry等）の基盤となる。

化学種 $i$ の質量分率 $Y_i$ の輸送方程式は次のように書ける。

各項の意味はこうだ。

$R_i$ は全反応の寄与を合算したもので、次式で与えられる。

平衡に近い条件では逆反応も重要だ。逆反応速度定数 $k_{b,r}$ は平衡定数 $K_{eq,r}$ から $k_{b,r} = k_{f,r}/K_{eq,r}$ で求まる。高温燃焼ではCO2の解離（$\text{CO}_2 \rightleftharpoons \text{CO} + \frac{1}{2}\text{O}_2$）が逆反応として重要になる。

3つのレベルがある。

そうだ。乱流場での有効拡散係数は $D_{\text{eff}} = D_{i,m} + D_t$ で、$D_t = \mu_t/(\rho\,Sc_t)$ は乱流拡散だ。$Sc_t \approx 0.7$ が燃焼解析での一般的な値だ。高Re数乱流では $D_t >> D_{i,m}$ となるから、分子拡散モデルの選択はRANSではあまり影響しない。ただしLESや層流火炎では分子拡散の精度が重要になる。

$N_s$ 種の化学種がある場合、輸送方程式は $N_s - 1$ 本解けばよい。最後の1種は $\sum Y_i = 1$ の制約から代数的に決まる。通常は最も質量分率が大きい成分（N2など）を代数的に求める。

そうだ。フレームレットモデルやPDFモデルは、この方程式を直接解く代わりにテーブル参照で効率化しているに過ぎない。本質はこの輸送方程式にある。

化学種輸送の数値解法には3つの主要課題がある。(1) 数値拡散の抑制、(2) 質量保存の保証、(3) Stiff反応ソース項の扱いだ。

化学種のシャープなフロント（火炎面など）を解像するには、数値拡散の少ないスキームが必要だ。

そうだ。Central Differenceは数値拡散ゼロだが非物理的な振動（Gibbsの現象）が出る。Bounded版はリミッターで振動を抑制しつつ低拡散を維持する。FluentではBounded Central Differencingが選択可能だ。

$N_s - 1$ 本の輸送方程式を解いて最後の1種を $Y_{N_s} = 1 - \sum_{i=1}^{N_s-1} Y_i$ で求めると、各方程式の数値誤差が累積して $Y_{N_s}$ が負になることがある。

対策として:

化学種輸送方程式を「輸送部分」と「反応部分」に分割して交互に解く手法だ。

Strang splitting の精度は2次だが、$\Delta t$ が大きいとsplitting error が問題になる。典型的な設定:

FluentでSpecies Transport + Finite Rate Chemistryを使う場合:

OpenFOAMでは reactingFoam が化学種輸送の標準ソルバーだ。thermophysicalProperties で混合物の物性を定義し、chemistryProperties で反応ソルバーを設定する。化学種の離散化スキームは fvSchemes の divSchemes で指定する。

そうだ。特に火炎面のような急峻な勾配がある領域では、スキームの選択が結果を大きく左右する。

Species Transport + Finite Rate Chemistryの直接解法（EDCやフレームレットを使わない場合）の手順だ。

1. 非反応流計算 -- 全化学種の輸送なしで流れ場を収束させる

化学種 $N_s$ ごとに追加の輸送方程式が必要なため、コストはほぼ $N_s$ に比例する。さらに反応ソース項のヤコビアンは $N_s \times N_s$ 行列になるため、Stiff ODEの積分コストは $O(N_s^2)$ 以上だ。

だからこそ実務ではDRM-19やLu13のような縮約機構が重要なんだ。3D RANSでは20化学種以下が実用的な上限だ。

Finite Rate Only（Arrheniusのみ）では乱流と化学反応の相互作用を無視するため、平均温度から反応速度を計算する。これは乱流変動の非線形効果（$\overline{\exp(-E_a/RT)} \neq \exp(-E_a/R\bar{T})$）を見逃す。

実務的な選択肢:

そうだ。理想的にはEDCやフレームレットで乱流効果を考慮すべきだが、まずはFinite Rate Onlyで反応機構の挙動を確認し、段階的にモデルの複雑さを上げていく手順が安全だ。

基本方程式は同じだが、反応ソルバー、乱流-化学反応モデル、並列性能が異なる。

SAGEソルバーは大規模反応機構の効率的な並列積分に最適化されている。n-ドデカンの2000化学種機構を3Dで直接解く実績がある。ただしこれはHPC環境（数千コア）でないと実用的な時間にはならない。

Fluentの化学種輸送で便利な機能:

そのとおり。輸送方程式自体はシンプルだが、反応ソース項の効率的な計算がボトルネックだ。ISAT、GPU、AMRなどの加速技術がツール選択の決め手になる。

3つの方向性が注目されている。(1) GPUによる大規模反応機構の高速化、(2) Transported PDF法、(3) DNSによる乱流拡散の理解だ。

化学反応のODE積分は各セルで独立に行えるため、GPUの大量並列に適している。Fluent 2024R1のGPU Chemistry SolverはNVIDIA A100でCPU比10-50倍の高速化を実現している。

そうだ。GPU Chemistry Solverの普及により、「縮約機構を使わなくても3D RANSで詳細機構を直接解ける」時代が来つつある。

化学種の結合確率密度関数 $P(Y_1, Y_2, ..., Y_{N_s})$ の輸送方程式を直接解く手法だ。Popeが1985年に提唱し、乱流-化学反応相互作用を最も厳密に扱える。

PDF輸送方程式はモンテカルロ法（ラグランジュ粒子法）で解くのが一般的で、各粒子が独立に化学反応を経験する。

使える。FluentのComposition PDF Transportモデルはラグランジュ粒子法で実装されている。EDCより高精度だが、計算コストは10-100倍になる。学術研究では広く使われているが、産業実務ではEDCやFlameletが主流だ。

化学種の乱流拡散に関して、DNSから以下の知見が得られている。

そうだ。現在のRANSモデルでは$Sc_t = 0.7$前後の定数が使われているが、DNSデータに基づく動的$Sc_t$モデルの開発が進んでいる。LESではダイナミックスマゴリンスキーの手法をスカラー拡散にも適用する研究がある。

そうだ。ハードウェアの進化で「より多くの化学種を直接解く」方向と、理論の進化で「より正確な乱流拡散モデルを作る」方向が相補的に発展している。

症状: 特定の化学種（特にマイナー種：OH, HO2等）の質量分率が負の値を取る。

原因: 数値スキームのオーバーシュートと反応ソース項の競合。高次スキーム（QUICK等）で急峻な勾配近傍で振動が生じる。

対策:

1. まず非反応流で流れ場を収束させる

そうだ。化学種輸送方程式は燃焼CFDの土台だから、ここで問題があるとその上に載るどんなモデルも正しく動かない。基礎を固めることが最も重要だ。