非圧縮性Navier-Stokes方程式

CFDで解く方程式の中で最も基本的かつ重要なものだ。非圧縮性NS方程式はニュートン流体の粘性流れを記述する。連続の式と運動量方程式のセットで構成される。

非圧縮性NS方程式は次の2式だ。

成分表示（$x$方向）で書くとわかりやすい。

方程式を代表速度 $U$、代表長さ $L$ で無次元化すると、唯一のパラメータとしてRe数が現れる。

その通り。3次元NS方程式の滑らかな解の大域的存在と一意性はクレイ数学研究所のミレニアム懸賞問題の一つだ（賞金100万ドル）。工学的にはDNS（直接数値シミュレーション）で有限時間・有限領域の解は得られているが、数学的な証明は未だ成されていない。

方程式の非線形性は移流項 $(\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u}$ に起因する。この項が乱流、カオス、渦崩壊などの複雑な現象を生み出す源泉だ。

有限体積法（FVM）が商用CFDの主流だ。計算領域をセルに分割し、各セルで保存則の積分形を離散化する。

移流項のスキーム選択は精度と安定性に直結する。

数値拡散がSGS渦を人工的に減衰させてしまうからだ。LESでは物理的な渦はできるだけ保存し、SGSモデルでのみ散逸させる必要がある。ただし中心差分はチェッカーボード不安定を起こしやすいので、リミッター付きのBounded Central Differenceが実用的だ。

非定常計算の時間積分スキームを比較しよう。

Courant-Friedrichs-Lewy数は、1タイムステップで情報がセル何個分移動するかの指標だ。

離散化後の連立方程式を解く線形ソルバーの選択も重要だ。

以下の手順で進めるのが標準的だ。

最もよく使われるモデルの使い分けを整理しよう。

GCI（Grid Convergence Index）法が推奨される。3水準のメッシュ（粗・中・密）で注目量を計算し、Richardson外挿で真値を推定する。

その通り。ベンチマーク問題で良い結果が出せないなら、実問題の結果も信頼できない。

商用・オープンソースの主要ソルバーを整理しよう。

非圧縮性流れでは Pressure-Based ソルバーを使う。

非圧縮性の主要ソルバーを整理しよう。

ESI GroupやCFD directが有償サポートを提供している。また、大学や研究機関ではOpenFOAMのコミュニティが充実しているので、情報は入手しやすい。商用ツールは安定性とサポートに対価を払う、という判断だ。

いくつかの重要なトレンドを紹介しよう。

DNSはNS方程式を乱流モデルなしで直接解く。すべてのスケールを解像するため、セル数は $N \propto Re^{9/4}$ でスケールする。

そう。だからこそRANSやLESの精度向上が重要であり続ける。

GPUの並列性を活かしたCFDが急速に普及している。

PINNはNS方程式を損失関数に組み込んだニューラルネットワークだ。

FVMの2次精度を超える手法も進展している。

NS方程式は流体力学のすべてを内包している。計算機の進歩とアルゴリズムの革新によって、解ける問題の範囲が着実に広がっている。

発散（divergence）と非物理的な結果が二大トラブルだ。

症状: 残差が急増し、速度や圧力が$10^{20}$等の異常値に。

対策の優先順位:

症状: 出口境界で逆流（Reversed Flow）の警告が大量に出る。

症状: 圧力場に市松模様状の振動が見られる。

流れ自体が非定常の場合がある。 カルマン渦列（Re > 47 で発生）のように、物理的に非定常な流れを定常計算で解こうとすると残差が振動し続ける。このときは非定常計算に切り替えること。モニタリング量の時間変動を確認し、周期的振動が見られたら非定常で解くべきだ。

まさにその通り。CFDのデバッグには流体力学の基礎知識が不可欠だ。