円板の曲げ（周辺固定・等分布荷重） — 理論と支配方程式

周辺固定の円板に等分布荷重 $q$ を加える問題は、軸対称構造解析の基本検証に最適だ。中心たわみ $w_0 = qa^4/(64D)$、$D = Et^3/[12(1-\nu^2)]$ が板の曲げ剛性。Kirchhoff板理論の厳密解が存在するから、シェル要素とソリッド要素の精度を定量比較できる。

二次元の曲げ場を扱うことだ。梁は1方向の曲げだが、円板では半径方向と周方向の2方向に曲げモーメントが発生する。Poisson比 $\nu$ が結果に直接影響する点も異なる。シェル要素の面内/面外剛性カップリングの検証に適している。

Kirchhoff板理論に基づくたわみ分布は

中心たわみ: $w_0 = qa^4/(64D)$

半径方向曲げモーメント: $M_r = \frac{q}{16}[(1+\nu)a^2 - (3+\nu)r^2]$

周方向曲げモーメント: $M_\theta = \frac{q}{16}[(1+\nu)a^2 - (1+3\nu)r^2]$

固定端（$r = a$）で最大の半径方向曲げモーメント $M_r|_{r=a} = -qa^2/8$ が生じる。対応する最大曲げ応力は

中心では $M_r = M_\theta = q(1+\nu)a^2/16$ で等方的な曲げ状態になる。この等方性はメッシュが正しく円板の対称性を反映しているかの検証指標になる。

$a = 0.5$ m、$t = 0.01$ m、$q = 10$ kPa、$E = 200$ GPa、$\nu = 0.3$ とする。$D = 18,315$ N·m。

理論値: $w_0 = 10000 \times 0.5^4 / (64 \times 18315) = 0.0533$ mm

二次の軸対称要素はこの問題に対してオーバーキルなくらいの精度がある。S8R（8節点低減積分シェル）もKirchhoff理論の仮定と整合するから高精度だ。ソリッド要素は板厚方向に最低2〜3層必要で、1層だと曲げの線形分布を捉えきれずに精度が落ちる。