パワースペクトル密度応答解析 — 理論と支配方程式
PSD応答解析とは
先生、「PSD応答解析」って何ですか？
ランダム振動って確定的な波形がないんですか？
そう。地震、道路面の凹凸、ジェットエンジンの音響、ロケットの打ち上げ振動…これらは確定的な時刻歴ではなく、統計的な特性（PSD）で記述される。
入力PSDと応答PSD
ランダム振動の基本公式：
- $S_{in}(f)$ — 入力PSD（加速度 $g^2$/Hz、力 $N^2$/Hz等）
- $H(f)$ — 周波数応答関数（FRF）
- $S_{out}(f)$ — 応答PSD（変位 $mm^2$/Hz、応力 $MPa^2$/Hz等）
FRFの2乗×入力PSD = 出力PSD。シンプルですね。
PSD応答解析は周波数応答解析の結果を使う。まずFRF $H(f)$ を求め（モード法 or 直接法）、入力PSD $S_{in}(f)$ をかけるだけ。追加の計算コストはほぼゼロ。
RMS値
応答のRMS（Root Mean Square）値は応答PSDの積分：
PSDの面積の平方根がRMS。RMSが「振動の大きさ」の指標ですね。
ランダム振動の設計では3σ（3×RMS）が最大応答の目安。正規分布を仮定すると、99.7%の確率で振幅が3σ以内。設計安全率として3σを使うことが多い。
ソルバー設定
Nastran
```
SOL 111 $ モード法周波数応答
CEND
METHOD = 10
RANDOM = 20
BEGIN BULK
RANDOM, 20, , FREQ, TABRND1, 100
TABRND1, 100, , ,
, 20., 0.01, 200., 0.01, 500., 0.04, 2000., 0.04, ENDT
```
Abaqus
```
*STEP
*RANDOM RESPONSE
20., 2000., 100, 1.
*PSD DEFINITION, NAME=base_psd, TYPE=BASE
20., 0.01
200., 0.01
500., 0.04
2000., 0.04
*END STEP
```
入力PSDをテーブル（周波数 vs. PSD値）で定義するんですね。
航空宇宙ではMIL-STD-810やNASA-STD-7001のランダム振動スペクトルがPSDで規定される。このPSDテーブルをFEMに入力。
まとめ
タイタニック号と安全率の教訓
「不沈」と謳われたタイタニック号は、低温でのリベット材の脆性破壊が沈没の一因とされています。現代の破壊力学CAEでは、温度依存の材料特性と応力拡大係数を計算して「その温度で本当に大丈夫か？」を事前に検証できます。技術の進歩は、過去の悲劇から学んだ結果です。
各項の物理的意味
- 慣性項（質量項）：$\rho \ddot{u}$、つまり「質量×加速度」。急ブレーキで体が前に投げ出された経験はありませんか？ あの「持っていかれる感じ」がまさに慣性力です。重い物体ほど動き出しにくく、動き出したら止まりにくい。地震で建物が揺れるのも、地面が急に動いたのに建物の質量が「置いていかれる」から。静解析ではこの項をゼロにしますが、それは「ゆっくり力をかけるから加速度は無視できる」という仮定です。衝撃荷重や振動問題では絶対に省略できません。
- 剛性項（弾性復元力）：$Ku$ や $\nabla \cdot \sigma$。ばねを引っ張ると「戻ろうとする力」を感じますよね？ あれがフックの法則 $F=kx$ であり、剛性項の本質です。では質問——鉄の棒とゴム紐、同じ力で引っ張るとどちらが伸びるでしょうか？ 当然ゴムです。この「伸びにくさ」がヤング率 $E$ であり、剛性を決めます。よくある勘違い：「剛性が高い＝強い」ではありません。剛性は「変形しにくさ」、強度は「壊れにくさ」で、別の概念です。
- 外力項（荷重項）：体積力 $f_b$（重力など）と表面力 $f_s$（圧力、接触力など）。こう考えてみてください——橋の上のトラックの重さは「中身全体にかかる力」（体積力）、タイヤが路面を押す力は「表面だけにかかる力」（表面力）。風圧、水圧、ボルトの締付力…すべて外力です。ここでありがちな失敗：荷重の方向を間違える。「引張」のつもりが「圧縮」になっていた——笑い話に聞こえますが、3D空間で座標系が回転していると実際に起こります。
- 減衰項：レイリー減衰 $C\dot{u} = (\alpha M + \beta K)\dot{u}$。ギターの弦を弾いてみてください。音は鳴り続けますか？ いいえ、徐々に小さくなりますよね。振動エネルギーが空気抵抗や弦の内部摩擦で熱に変わるからです。車のショックアブソーバーも同じ原理——わざと振動エネルギーを吸収して乗り心地を良くしています。もし減衰がゼロだったら？ 建物は地震の後いつまでも揺れ続けることになります。実際にはそうならないので、適切な減衰の設定が重要です。
仮定条件と適用限界
次元解析と単位系
| 変数 | SI単位 | 注意点・換算メモ |
|---|---|---|
| 変位 $u$ | m（メートル） | mm入力時は荷重・弾性率もMPa/N系に統一すること |
| 応力 $\sigma$ | Pa（パスカル）= N/m² | MPa = 10⁶ Pa。降伏応力との比較時に単位系の不一致に注意 |
| 歪み $\varepsilon$ | 無次元（m/m） | 工学歪みと対数歪みの区別に注意（大変形時） |
| 弾性率 $E$ | Pa | 鋼: 約210 GPa、アルミ: 約70 GPa。温度依存性に注意 |
| 密度 $\rho$ | kg/m³ | mm系ではtonne/mm³（= 10⁻⁹ tonne/mm³ for 鋼） |
| 力 $F$ | N（ニュートン） | mm系ではN、m系ではNで統一 |
数値例：片持ち梁の先端荷重（L=1m, 断面50×100mm, 鋼材E=210GPa, P=1kN）
最大たわみ δ = PL³/(3EI) = 1000×1000³/(3×210000×4,166,667) ≈ 0.381 mm 最大応力 σ = PL×(h/2)/I ≈ 12.0 MPa（降伏応力235MPaに対して安全率19.6）
メッシュ密度を変えた収束性の確認：
ポイント：要素数を4倍にしても結果は0.5%しか変わらない→8,000要素で十分収束。これが「メッシュ収束性」の確認です。
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CAEの未来を、実務者と共に考える
Project NovaSolverは、パワースペクトル密度応答解析における実務課題の本質に向き合い、エンジニアリングの現場を支える道具づくりを目指す研究開発プロジェクトです。
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