オイラー方程式（圧縮性） — 先端技術と研究動向

そう思われがちだけど、実はまだ活発に研究されている分野だよ。特に高次精度スキーム、全マッハ数対応、AMR（適応格子細分化）の3つが注目されている。

WENO（Weighted ENO）スキームは5次精度で衝撃波近傍でも振動のない解を得られる。最近はWENO-Z、TENO（Targeted ENO）といった改良版が提案されていて、より少ない数値散逸で衝撃波と渦を同時に高精度に捕捉できる。

$\omega_k$ が非線形重みで、滑らかな領域では最適な高次精度を回復し、不連続近傍では自動的にENO的な選択を行う。

DG法は有限要素法の枠組みで高次精度を実現する手法で、要素間の不連続を許容するからGodunovスキームとの親和性が高い。$p$-refinement（多項式次数の向上）が容易で、h-p適応が可能。ただし自由度数が多くメモリと計算コストが課題だ。最近はFR（Flux Reconstruction）法というDGの効率的な再定式化が広まりつつある。

従来のGodunovスキームは低マッハ数（$M \ll 1$）で精度が低下する問題があった。圧力の数値散逸が $O(1/M)$ でスケールするため、非圧縮極限で正しい解が得られない。

これを解決するのが全マッハ数スキーム（all-speed scheme）で、AUSM+-up、SLAU（Simple Low-dissipation AUSM）、Low-Mach preconditioned Roeなどがある。

まさにそのとおり。旅客機の巡航条件（$M_\infty = 0.85$）では、翼上面で局所マッハ数が1.2程度まで上がる一方、よどみ点近傍ではM→0になる。全マッハ数スキームならこの両方を正しく解ける。

AMR（Adaptive Mesh Refinement）はoctreeベースの格子で衝撃波近傍を動的に細分化する技術だ。AMReXやp4estといったライブラリが公開されていて、数十億セルの計算も可能になっている。

また、immersed boundary法やcut-cell法を組み合わせることで、複雑形状に対するメッシュ生成の手間を大幅に削減できる。Cartesian grid + AMR + cut-cellの組み合わせは「meshless」に近いワークフローを実現するんだ。

GPU対応は急速に進んでいる。陽解法のオイラーソルバーは並列性が高いからGPUとの相性が非常に良い。JAXAのFaSTARやNASAのFUN3DもGPU対応版が開発されているよ。