拡散火炎と混合分率 — 数値解法と実装

非予混合燃焼モデルでは、$Z$ と $\widetilde{Z''^2}$（混合分率分散）の輸送方程式をCFDで解き、化学反応の情報はルックアップテーブルから取得する。

乱流場でのFavre平均混合分率 $\widetilde{Z}$ と分散 $\widetilde{Z''^2}$ の方程式は次のようになる。

スカラー散逸率（scalar dissipation rate）だ。$\chi = 2D|\nabla Z|^2$ で定義され、混合分率の微細構造がどのくらい速く消散するかを表す。乱流条件下では $\widetilde{\chi} = C_\chi \frac{\varepsilon}{k}\widetilde{Z''^2}$ のようにモデル化される（$C_\chi \approx 2.0$）。

乱流場では $Z$ がセル内で揺らいでいるから、平均値だけでは火炎構造を正しく表せない。$Z$ の確率密度関数 $P(Z)$ を仮定して、平均温度や平均化学種を積分で求める。

PDFの形状には $\beta$ 関数分布が広く使われる。$\widetilde{Z}$ と $\widetilde{Z''^2}$ の2つのパラメータから $\beta$ 分布の形状が一意に決まるんだ。

事前にフレームレット方程式やケミカルイクイリブリアムを解いて、$Z$ と $\chi_{st}$（ストイキオメトリック散逸率）をパラメータとした温度・化学種のテーブルを作る。これをPDFで積分したテーブルが、CFDのランタイムで参照される。

Fluentでは Models > Species > Non-Premixed Combustion を選択し、CHEMKIN形式で反応機構をインポートしてPDFテーブルを自動生成させる。テーブル解像度（$Z$ 方向の分割数）は最低64点、できれば128点推奨だ。

そうだ。3D CFDのランタイムでは化学反応を解く必要がないから、詳細化学反応でも計算コストがほぼ変わらないのが最大の強みだ。