連続の式（質量保存） — 理論と支配方程式
概要
先生、連続の式ってNS方程式と並んで出てきますけど、何を表してるんですか？
質量保存則の微分形だ。「流体はどこからともなく湧いたり消えたりしない」という物理を数式にしたもの。CFDのすべての基盤だよ。
一般形（圧縮性流れ）
任意の流体に対する連続の式は次の通り。
展開すると、
各項はどう読めばいいんですか？
$\partial\rho/\partial t$ は検査体積内の密度変化率。$\nabla\cdot(\rho\mathbf{u})$ は検査体積表面を通る質量フラックスの正味流出率。両者の和がゼロ、つまり質量が保存されるということだ。
物質微分形
物質微分 $D/Dt$ を使うと別の形で書ける。
これは「流体粒子に乗って見たときの密度変化率は、速度場の発散に比例する」ことを意味する。
非圧縮性流れの場合
非圧縮なら $\rho$ は一定ですよね？
その通り。$D\rho/Dt = 0$ なので、連続の式は非常にシンプルになる。
成分表示では、
これは「速度場が発散フリー（divergence-free）」であることを意味する。ソレノイダル条件とも呼ばれる。
非圧縮でも密度が場所によって違うケース（多相流とか）はありませんか？
鋭い指摘だ。例えば温度差による浮力流れ（Boussinesq近似）では密度変化を浮力項にだけ考慮し、連続の式は $\nabla\cdot\mathbf{u}=0$ のまま使う。ただし、VOF（Volume of Fluid）法で水と空気を扱う場合は密度が不連続に変わるので、圧縮性形の連続の式を使う必要がある。
積分形
有限体積法の基礎となる積分形も重要だ。検査体積 $V$ に対して、
FVMでは各セルでこの積分形を離散化する。セル面を通る質量フラックスの収支がゼロになるよう圧力場を調整するのがSIMPLEアルゴリズムの核心だ。
ライト兄弟は最初の「CFDエンジニア」だった？
ライト兄弟は1901年に自作の風洞で200以上の翼型を試験しました。当時のコンピュータは？ もちろん存在しません。彼らは手作業で揚力と抗力を測定し、最適な翼型を見つけ出した。現代のCFDエンジニアがFluent1発で計算する揚力係数を、ライト兄弟は何百回もの風洞実験で手に入れたのです。
各項の物理的意味
- 時間項 $\partial(\rho\phi)/\partial t$：蛇口をひねった瞬間を思い浮かべてください。最初は水がバタバタと不安定に出て、しばらくすると安定した流れになりますよね？ この「変化している最中」を記述するのが時間項です。心臓の拍動で血流が脈打つのも、エンジンのバルブが開閉するたびに流れが変動するのも、すべて非定常現象。では定常解析とは？ 「十分時間が経って流れが落ち着いた後」だけを見る——つまりこの項をゼロにする。計算コストが大幅に下がるため、まず定常で解いてみるのがCFDの基本戦略です。
- 対流項 $\nabla \cdot (\rho \mathbf{u} \phi)$：川に落ち葉を落としたらどうなりますか？ 流れに乗って下流に運ばれますよね。これが「対流」——流体の動きが物を運ぶ効果です。暖房の温風が部屋の端まで届くのも、空気という「運び屋」が熱を対流で輸送しているから。ここが面白いところ——この項は「速度×速度」を含むため非線形です。つまり、流れが速くなるとこの項が急激に強くなり、制御が難しくなる。これが乱流の根本原因です。よくある勘違い：「対流と伝導は同じようなもの」→ 全然違います！ 対流は流れが運ぶ、伝導は分子が伝える。桁違いの効率差があります。
- 拡散項 $\nabla \cdot (\Gamma \nabla \phi)$：コーヒーにミルクを入れて放置したことはありますか？ かき混ぜなくても、しばらく経つと自然に混ざりますよね。あれが分子拡散です。では次の質問——ハチミツとお水、どちらが流しやすいですか？ 当然お水ですよね。ハチミツは粘性（$\mu$）が高いから流れにくい。粘性が大きいと拡散項が強くなり、流体は「もったりした」動きになります。レイノルズ数が小さい流れ（ゆっくり、ドロドロ）では拡散が支配的。逆にRe数が大きい流れでは対流が圧倒し、拡散は脇役になります。
- 圧力項 $-\nabla p$：注射器のピストンを押すと、液体が針先から勢いよく出ますよね？ なぜでしょう？ ピストン側が高圧、針先が低圧——この圧力差が流体を押す力になるからです。ダムの放水も同じ原理。天気図で等圧線がギュッと密になっている場所では？ そう、強風が吹きます。「圧力差があるところに流れが生まれる」——これがナビエ-ストークス方程式の圧力項の物理的意味。ここでの勘違いポイント：CFDの「圧力」は絶対圧ではなくゲージ圧のことが多い。圧縮性解析に切り替えたとたんに結果がおかしくなる場合、絶対圧/ゲージ圧の混同が原因かもしれません。
- ソース項 $S_\phi$：暖められた空気が上に昇る——なぜでしょう？ 周囲より軽く（密度が低く）なったから、浮力で押し上げられるのです。この浮力はソース項として方程式に追加されます。他にも、ガスコンロの炎で化学反応熱が発生する、工場の電磁ポンプで金属溶湯にローレンツ力がかかる…これらはすべて「外部から流体にエネルギーや力を注入する」作用であり、ソース項で表現します。ソース項を忘れるとどうなるか？ 自然対流の解析で浮力を入れ忘れると、流体は一切動かない——冬の部屋で暖房をつけたのに暖かい空気が上に行かない、という物理的にありえない結果になります。
仮定条件と適用限界
- 連続体仮定：クヌッセン数 Kn < 0.01（分子平均自由行程 ≪ 代表長さ）で成立
- ニュートン流体仮定：せん断応力と歪み速度が線形関係（非ニュートン流体では粘度モデルが必要）
- 非圧縮性仮定（Ma < 0.3の場合）：密度を一定として扱う。マッハ数0.3以上では圧縮性効果を考慮
- ブシネスク近似（自然対流）：密度変化を浮力項のみで考慮し、他の項では一定密度を使用
- 適用外ケース：希薄気体（Kn > 0.1）、超音速・極超音速流れ（衝撃波捕捉が必要）、自由表面流れ（VOF/Level Set等が必要）
次元解析と単位系
| 変数 | SI単位 | 注意点・換算メモ |
|---|---|---|
| 速度 $u$ | m/s | 入口条件で体積流量から換算する際、断面積の単位に注意 |
| 圧力 $p$ | Pa | ゲージ圧と絶対圧の区別。圧縮性解析では絶対圧を使用 |
| 密度 $\rho$ | kg/m³ | 空気: 約1.225 kg/m³@20°C、水: 約998 kg/m³@20°C |
| 粘性係数 $\mu$ | Pa·s | 動粘性係数 $\nu = \mu/\rho$ [m²/s] との混同に注意 |
| レイノルズ数 $Re$ | 無次元 | $Re = \rho u L / \mu$。層流/乱流遷移の判定指標 |
| CFL数 | 無次元 | $CFL = u \Delta t / \Delta x$。時間刻みの安定性に直結 |
数値例：円管内層流（d=10mm, L=1m, 水μ=0.001Pa·s, Q=0.1L/min）
Re = ρuD/μ = 998×0.021×0.01/0.001 ≈ 212（層流） 圧力損失 ΔP = 128μLQ/(πd⁴) ≈ 68.2 Pa
乱流モデル別の精度比較（後向きステップ、再付着長さ）：
k-ω SSTは精度とコストのバランスが良く、多くの実務で最初の選択肢になります。
CFDメッシュの品質管理や乱流モデルの選定に悩む時間を、もっと創造的な設計作業に使えたら。 — Project NovaSolverはそんな実務者の声から生まれました。
Project NovaSolver — CAE実務の課題に向き合う研究開発
「連続の式（質量保存）をもっと効率的に解析できないか？」——私たちは実務者の声に耳を傾け、既存ワークフローの改善を目指す次世代CAEプロジェクトに取り組んでいます。具体的な機能はまだ公開前ですが、開発の進捗をお届けします。
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