空力弾性フラッタ解析 — 数値解法と実装

翼面を台形パネルに分割し、各パネルに加速度ポテンシャルの二重子（doublet）を配置する。パネルの3/4コード点でダウンウォッシュ境界条件を満たすように連立方程式を解いて圧力分布を求めるんだ。

$A_{ij}$ はカーネル関数を含む空力影響係数で、マッハ数 $M$ と換算振動数 $k$ に依存する。

線形ポテンシャル理論に基づくので、次の場合に精度が落ちる。

• 遷音速領域（$M \approx 0.8$〜1.2）：衝撃波の影響
• 大迎角：剥離を伴う流れ
• 翼の厚み効果が大きい場合

これらのケースではCFDベースの手法が必要になるんだ。

スプライン補間を使う。代表的な手法は以下の通り。

Nastranでは SPLINE1/SPLINE2 カードで定義する。構造節点の変位を空力パネルの制御点に補間し、逆に空力荷重を構造節点に写像する。

変換行列 $\mathbf{G}$ を使うと、

この力の変換で仮想仕事の保存が保証される。

1. 構造モデルからモード解析（SOL 103）→ 固有モード $\phi_i$、固有振動数 $\omega_i$

2. DLMで各マッハ数・換算振動数に対する一般化空力マトリクス $\mathbf{Q}(M, k)$ を計算

3. 各速度 $U$ に対して反復解法：

• 初期推定の $k$ で $\mathbf{Q}$ を補間
• 固有値問題を解いて $p = \gamma + i\omega$ を取得
• 新しい $k = \omega b / U$ で $\mathbf{Q}$ を更新
• $k$ が収束するまで繰り返し

4. $\gamma(U)$ のプロットから $\gamma = 0$ を横切る速度がフラッタ速度

通常3〜5回で収束する。ただし、モードが接近するケースでは追跡が難しくなるから、モードトラッキングのアルゴリズム（MAC値による追跡など）が重要だよ。

Loose coupling（分離型）とStrong coupling（反復型）がある。

• Loose coupling: 各時間ステップで CFD→荷重→CSD→変位→メッシュ更新 を1回ずつ実行。計算コストは低いが、人工的なエネルギー増減が発生しうる
• Strong coupling: 各時間ステップ内で上記のサイクルを収束するまで反復。エネルギー保存性が高い

時間刻み $\Delta t$ はフラッタ振動数の20〜50分の1程度が目安だ。Newmark-$\beta$ 法（$\beta=1/4, \gamma=1/2$）で構造の時間積分を行うのが一般的だよ。