軸対称解析 — 理論と支配方程式

そう。形状、材料、荷重、境界条件が全て回転軸に対して対称な場合、3次元問題を2次元断面の解析に帰着できる。円筒座標 $(r, \theta, z)$ で $\theta$ 方向に変化がないという仮定だ。

実はものすごく多い：

• 圧力容器 — 円筒胴、鏡板、ノズル（周方向に一様な場合）
• フランジ・ボルト — 締結体の軸力解析
• ベアリング — 内輪・外輪・転動体の接触
• ピストン・シリンダー — 内燃機関の圧力解析
• パイプの内圧 — 厚肉円筒のラメの問題
• 回転体 — ディスク、フライホイール、タービンロータの遠心力

圧力容器はASME規格でも軸対称解析が認められている。3次元で圧力容器全体をモデル化するより、軸対称の断面解析のほうが100分の1以下のDOFで同等以上の精度が出る。

円筒座標系で4つの応力成分が存在する：

そう。軸対称の特徴はフープ応力 $\sigma_\theta$ が存在すること。$r$ 方向に変位 $u_r$ があると、周方向のひずみは：

完璧な理解だ。半径 $r$ の円周は $2\pi r$ だから、半径が $u_r$ だけ増えると円周は $2\pi(r + u_r)$ になる。ひずみは $\Delta L / L = u_r / r$。この$1/r$ の項が軸対称解析の核心で、平面応力/ひずみにはない特徴だ。

軸対称のフックの法則：

そう。軸対称は「見た目は2次元、中身は3次元」だ。応力状態は完全に3次元で、$\sigma_\theta$ がゼロになることはない（$r = 0$ を除いて）。

ラメの問題（Lamé problem）は軸対称の最も基本的な理論解だ。内半径 $a$, 外半径 $b$, 内圧 $p$ のとき：

内面の最大フープ応力：

薄肉（$b \approx a$）の場合は $\sigma_\theta \approx pD/(2t)$（薄肉円筒の公式）に近づく。これはFEMの軸対称解析を検証する最良のベンチマーク問題だ。

要点：

• 形状・荷重・材料が回転対称なら2次元で解ける — DOFが100分の1以下に
• 4つの応力成分 — $\sigma_r, \sigma_\theta, \sigma_z, \tau_{rz}$。フープ応力 $\sigma_\theta$ が固有
• $\varepsilon_\theta = u_r / r$ — 幾何学的な周方向ひずみ
• 実質3次元の応力状態 — 見た目は2次元だが中身は3次元
• ラメの問題で検証 — 厚肉円筒の内圧は最良のベンチマーク

その通り。ただし非軸対称な荷重（ノズル荷重、地震荷重）や非軸対称な形状（穴、不連続部）がある場合は3次元解析が必要だ。軸対称でスクリーニングし、必要な部分だけ3次元で詳細解析するのが効率的なアプローチだ。