軸対称解析 — 数値解法と実装

軸対称要素は $(r, z)$ 平面の2次元要素だが、内部の定式化に$2\pi r$ の重みが入る。これは要素を回転軸回りに一周させた体積に対応する。

軸対称要素の剛性マトリクスの積分：

平面問題の $t$（板厚）の代わりに $2\pi r$（周長）が入る。

非常にいい質問だ。$r = 0$ での積分は特異性を持つ。実装上は以下の対応がされている：

• ガウス積分点は $r = 0$ 上には配置されない（積分点は要素内部にある）
• $r = 0$ 上の節点では $\varepsilon_\theta = u_r / r$ が $0/0$ になるが、L'Hôpitalの法則で $\varepsilon_\theta = \varepsilon_r$ となる
• 実用上は問題ないが、$r = 0$ 付近で非常に細かいメッシュを使うと数値的に不安定になることがある

その通り。Ansysでは同じPLANE182/183要素のKEYOPTで切り替える。NastranではCQUADX系の別要素になる。

1. 回転軸（$r = 0$）の拘束

• $r = 0$ 上の節点は $u_r = 0$（半径方向変位ゼロ）を強制
• $u_z$ は自由（軸方向には動ける）
• これを忘れると軸が横に動いてしまい、非物理的な結果になる

2. 対称面の扱い

• 軸方向の対称面（例：円筒の中央断面）では $u_z = 0$
• これにより半モデルにできる

3. 荷重の入力

• 集中力は「$2\pi r$ で割った値」ではなく、断面上の線荷重として入力
• 内圧は面圧として直接入力（$2\pi r$ は自動で考慮される）

そう。軸対称解析で「100 kNの集中荷重」を $r = 50$ mm の節点に入力すると、実際には周方向に分布した $100 / (2\pi \times 0.05) = 318$ kN/m の線荷重になる。入力値がそのまま「リング状荷重」になることを理解していないと、荷重のオーダーが合わない。

フーリエ展開（Fourier series expansion）で非軸対称成分を分離できる。荷重を周方向の高調波（$\cos n\theta, \sin n\theta$）に分解し、各高調波に対して2次元解析を行い、最後に重ね合わせる。

NastranではCQUADX + SOL 101 でフーリエ展開解析ができる（ハーモニック要素）。Abaqusでは CAXA 系要素（asymmetric-axisymmetric）で非軸対称荷重を扱える。

原理的には可能だが、局所荷重をフーリエ級数で表現するには多数の高調波が必要で、計算コストが3次元に近づく。ノズル荷重のような局所問題は3次元サブモデリングのほうが効率的だ。

要点：

• $2\pi r$ の重みが剛性マトリクスに入る — 平面要素との本質的な違い
• $r = 0$ 上の節点は $u_r = 0$ — 回転軸の拘束を忘れない
• 荷重はリング状に作用する — 集中荷重の意味が平面問題と異なる
• フーリエ展開で非軸対称荷重に対応 — ただし局所荷重は3Dが効率的
• ハイブリッド要素 — 非圧縮材料（ゴム）の軸対称解析にも必要