極超音速流れ — 数値解法と実装

基本的な有限体積法（FVM）のフレームワークは同じだが、フラックス計算スキームの選択が極めて重要になる。強い衝撃波を安定に捕獲するには、Roe法やAUSM+系のスキームにリミッター（Van Leer, Barth-Jespersen等）を組み合わせるのが標準的だ。

Advection Upstream Splitting Method。質量フラックスと圧力フラックスを分離して評価する手法で、極超音速域でのカーバンクル現象を低減できるんだ。特にAUSM+-upスキームは全速度域で安定性が高い。

その通り。衝撃波捕獲法（shock capturing）では、数値粘性で不連続面を数セル幅に滑らかにする。精度を上げるにはMUSCL再構築で2次精度にしつつ、TVD（Total Variation Diminishing）リミッターで振動を抑制する。

ここで $\phi(r)$ はリミッター関数。MinModリミッターは最も拡散的だが安定、Superbeaは急峻だがオーバーシュートのリスクがある。

非常にシビア。M>10の強い弓状衝撃波では、Roe法単体だとカーバンクル不安定が発生しやすい。H-CUSP法やRotated Roeスキームなど、多次元効果を考慮した手法が有効だ。

定常解を求めるなら陰解法（LU-SGS, DPLR型point-implicit等）が効率的だ。CFL数を100以上に取れるから収束が速い。一方、非定常現象（カプセル振動等）を追うなら2次精度陰解法（BDF2）か陽解法の二段Runge-Kuttaを使う。ただし陽解法のCFL制限は

で、極超音速では音速 $a$ が高温で増大するため時間刻みが非常に小さくなる。

化学反応の時定数が流体の時定数より何桁も小さいため、ソース項が「stiff」になるんだ。これを解決するにはポイント陰解法で化学種ソース項のヤコビアンを陰的に扱うか、operator splitting法で流体と化学を分離して解く。NASAのDPLRコードやUS3Dコードではpoint-implicit法が標準的に使われている。

Data Parallel Line Relaxation。NASA Amesが開発した極超音速CFDコードで、Parkの熱化学モデルを内蔵している。再突入体解析の業界標準の一つだ。他にもLAURA（NASA Langley）、US3D（ミネソタ大）が有名だね。

Ansys Fluentも実在気体と有限速度化学反応に対応しているが、極超音速専用コードほど検証実績は多くない。STAR-CCM+もReacting Flowモデルがあるが、5種・11種空気モデルの実装はユーザー側でカスタマイズが必要な場合がある。