標準k-εモデル — 理論と支配方程式
概要
先生、標準k-εモデルって乱流の世界では一番有名なモデルですよね？ 改めて基礎から教えてもらえますか？
LaunderとSpalding（1974）が提案した2方程式乱流モデルだ。乱流エネルギー $k$ とその散逸率 $\varepsilon$ の輸送方程式を解く。工業CFDで最も広く使われてきた歴史がある。
2方程式モデルっていうのは、$k$ と $\varepsilon$ の2つの方程式を解くからですか？
その通り。渦粘性仮説（Boussinesq仮説）に基づいて、レイノルズ応力テンソルを渦粘性係数 $\mu_t$ で近似する。つまりこういう形だ。
輸送方程式
$k$ と $\varepsilon$ それぞれの輸送方程式はどんな形になるんですか？
まず乱流エネルギー $k$ の方程式だ。
次に散逸率 $\varepsilon$ の方程式だ。
ここで渦粘性は以下で定義される。
生成項 $P_k$ は平均ひずみ速度テンソル $S_{ij}$ を使って次のように書く。
モデル定数
各定数の標準値を教えてください。
標準k-εモデルの定数は以下の通りだ。これらはLaunder-Spaldingが一様等方乱流の減衰データや対数則などから決定した値だ。
| 定数 | 値 | 決定根拠 |
|---|---|---|
| $C_\mu$ | 0.09 | 対数則領域での整合性 |
| $C_{\varepsilon 1}$ | 1.44 | 一様せん断流の実験 |
| $C_{\varepsilon 2}$ | 1.92 | 格子乱流の減衰実験 |
| $\sigma_k$ | 1.0 | 乱流拡散の経験値 |
| $\sigma_\varepsilon$ | 1.3 | 乱流拡散の経験値 |
これらの定数って変えちゃダメなんですか？
原則として変更しないのが基本だ。ただし、$C_{\varepsilon 1}$ はラウンドジェットの拡がり率を合わせるために1.60に変更する「ラウンドジェット補正」が知られている。この辺は実務でも時々使う知識だ。
強みと弱み
標準k-εの得意・不得意を整理してもらえますか？
強み:
- ロバストで収束しやすい
- 工業的な内部流れ（配管、ダクト）で実績豊富
- 計算コストが低い
- 初期条件の設定が容易（乱流強度とスケールから $k$, $\varepsilon$ を算出）
弱み:
- 旋回流・曲率の強い流れで乱流エネルギーを過大予測
- 逆圧力勾配下の剥離を正確に捉えられない
- 壁面近傍では壁関数が必要（標準モデルは高Reynolds数型）
- 等方渦粘性仮説の限界で強い異方性乱流に不向き
旋回流で過大予測するのはなぜですか？
$C_\mu$ が定数0.09に固定されているからだ。旋回や曲率が強い領域では実効的な $C_\mu$ はもっと小さくなるべきなんだが、標準モデルではそれを反映できない。これがRealizable k-εモデルで改良された点だ。
ライト兄弟は最初の「CFDエンジニア」だった？
ライト兄弟は1901年に自作の風洞で200以上の翼型を試験しました。当時のコンピュータは？ もちろん存在しません。彼らは手作業で揚力と抗力を測定し、最適な翼型を見つけ出した。現代のCFDエンジニアがFluent1発で計算する揚力係数を、ライト兄弟は何百回もの風洞実験で手に入れたのです。
各項の物理的意味
- 時間項 $\partial(\rho\phi)/\partial t$：蛇口をひねった瞬間を思い浮かべてください。最初は水がバタバタと不安定に出て、しばらくすると安定した流れになりますよね？ この「変化している最中」を記述するのが時間項です。心臓の拍動で血流が脈打つのも、エンジンのバルブが開閉するたびに流れが変動するのも、すべて非定常現象。では定常解析とは？ 「十分時間が経って流れが落ち着いた後」だけを見る——つまりこの項をゼロにする。計算コストが大幅に下がるため、まず定常で解いてみるのがCFDの基本戦略です。
- 対流項 $\nabla \cdot (\rho \mathbf{u} \phi)$：川に落ち葉を落としたらどうなりますか？ 流れに乗って下流に運ばれますよね。これが「対流」——流体の動きが物を運ぶ効果です。暖房の温風が部屋の端まで届くのも、空気という「運び屋」が熱を対流で輸送しているから。ここが面白いところ——この項は「速度×速度」を含むため非線形です。つまり、流れが速くなるとこの項が急激に強くなり、制御が難しくなる。これが乱流の根本原因です。よくある勘違い：「対流と伝導は同じようなもの」→ 全然違います！ 対流は流れが運ぶ、伝導は分子が伝える。桁違いの効率差があります。
- 拡散項 $\nabla \cdot (\Gamma \nabla \phi)$：コーヒーにミルクを入れて放置したことはありますか？ かき混ぜなくても、しばらく経つと自然に混ざりますよね。あれが分子拡散です。では次の質問——ハチミツとお水、どちらが流しやすいですか？ 当然お水ですよね。ハチミツは粘性（$\mu$）が高いから流れにくい。粘性が大きいと拡散項が強くなり、流体は「もったりした」動きになります。レイノルズ数が小さい流れ（ゆっくり、ドロドロ）では拡散が支配的。逆にRe数が大きい流れでは対流が圧倒し、拡散は脇役になります。
- 圧力項 $-\nabla p$：注射器のピストンを押すと、液体が針先から勢いよく出ますよね？ なぜでしょう？ ピストン側が高圧、針先が低圧——この圧力差が流体を押す力になるからです。ダムの放水も同じ原理。天気図で等圧線がギュッと密になっている場所では？ そう、強風が吹きます。「圧力差があるところに流れが生まれる」——これがナビエ-ストークス方程式の圧力項の物理的意味。ここでの勘違いポイント：CFDの「圧力」は絶対圧ではなくゲージ圧のことが多い。圧縮性解析に切り替えたとたんに結果がおかしくなる場合、絶対圧/ゲージ圧の混同が原因かもしれません。
- ソース項 $S_\phi$：暖められた空気が上に昇る——なぜでしょう？ 周囲より軽く（密度が低く）なったから、浮力で押し上げられるのです。この浮力はソース項として方程式に追加されます。他にも、ガスコンロの炎で化学反応熱が発生する、工場の電磁ポンプで金属溶湯にローレンツ力がかかる…これらはすべて「外部から流体にエネルギーや力を注入する」作用であり、ソース項で表現します。ソース項を忘れるとどうなるか？ 自然対流の解析で浮力を入れ忘れると、流体は一切動かない——冬の部屋で暖房をつけたのに暖かい空気が上に行かない、という物理的にありえない結果になります。
仮定条件と適用限界
- 連続体仮定：クヌッセン数 Kn < 0.01（分子平均自由行程 ≪ 代表長さ）で成立
- ニュートン流体仮定：せん断応力と歪み速度が線形関係（非ニュートン流体では粘度モデルが必要）
- 非圧縮性仮定（Ma < 0.3の場合）：密度を一定として扱う。マッハ数0.3以上では圧縮性効果を考慮
- ブシネスク近似（自然対流）：密度変化を浮力項のみで考慮し、他の項では一定密度を使用
- 適用外ケース：希薄気体（Kn > 0.1）、超音速・極超音速流れ（衝撃波捕捉が必要）、自由表面流れ（VOF/Level Set等が必要）
次元解析と単位系
| 変数 | SI単位 | 注意点・換算メモ |
|---|---|---|
| 速度 $u$ | m/s | 入口条件で体積流量から換算する際、断面積の単位に注意 |
| 圧力 $p$ | Pa | ゲージ圧と絶対圧の区別。圧縮性解析では絶対圧を使用 |
| 密度 $\rho$ | kg/m³ | 空気: 約1.225 kg/m³@20°C、水: 約998 kg/m³@20°C |
| 粘性係数 $\mu$ | Pa·s | 動粘性係数 $\nu = \mu/\rho$ [m²/s] との混同に注意 |
| レイノルズ数 $Re$ | 無次元 | $Re = \rho u L / \mu$。層流/乱流遷移の判定指標 |
| CFL数 | 無次元 | $CFL = u \Delta t / \Delta x$。時間刻みの安定性に直結 |
数値例：円管内層流（d=10mm, L=1m, 水μ=0.001Pa·s, Q=0.1L/min）
Re = ρuD/μ = 998×0.021×0.01/0.001 ≈ 212（層流） 圧力損失 ΔP = 128μLQ/(πd⁴) ≈ 68.2 Pa
乱流モデル別の精度比較（後向きステップ、再付着長さ）：
k-ω SSTは精度とコストのバランスが良く、多くの実務で最初の選択肢になります。
CFDメッシュの品質管理や乱流モデルの選定に悩む時間を、もっと創造的な設計作業に使えたら。 — Project NovaSolverはそんな実務者の声から生まれました。
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