オイラー方程式（圧縮性） — 数値解法と実装

そのとおり。オイラー方程式の解には衝撃波や接触不連続面といった不連続解が含まれる。これらを数値的に正しく捕獲するための手法が、圧縮性CFDの核心技術だ。

Godunovの方法では、セル界面で局所的なリーマン問題を解いて数値フラックスを求める。

ここで $\mathbf{U}^*$ はリーマン問題の解、$\mathbf{U}_L, \mathbf{U}_R$ はセル界面の左右の状態だ。厳密リーマンソルバーは計算コストが高いので、近似リーマンソルバーが広く使われている。

Roeは左右の状態からRoe平均を計算して、ヤコビアンを線形化する。Roe平均密度は $\hat{\rho} = \sqrt{\rho_L \rho_R}$ で定義される。数値フラックスは

第2項が数値的な散逸を加える風上項だ。

1次精度のGodunovスキームでは衝撃波が数十セルにまたがってしまう。高次精度化にはMUSCL（Monotone Upstream-centered Schemes for Conservation Laws）法を使う。

ここで $\phi(r)$ はスロープリミッター関数。リミッターを使わないと衝撃波近傍でGibbs振動が発生する。代表的なリミッターには minmod、van Leer、superbee がある。

かなり変わる。minmod は最も拡散的だけど安定、superbee は鮮鋭だけど疎密波を階段状にしてしまう傾向がある。実用的には van Leer か van Albada が良いバランスだ。WENO（Weighted Essentially Non-Oscillatory）スキームは5次精度で衝撃波捕獲も優れているが、計算コストが高い。

陽解法ならTVD Runge-Kutta法（Shu-Osher 3段3次）が定番だ。CFL条件は

CFL $\leq 1$ が安定条件だ。陰解法ではLU-SGS（Lower-Upper Symmetric Gauss-Seidel）法が効率的で、CFL数を大きく取れるから定常計算の収束が速いんだ。