円板の曲げ（周辺固定・等分布荷重） — 数値解法と実装

板厚/半径比 $t/a$ で判断する。$t/a < 0.1$ ならKirchhoff板理論が成り立つからシェル要素が効率的。$t/a > 0.1$ の厚板ではReissner-Mindlinのせん断変形が無視できなくなるから、ソリッド要素か厚板シェル要素を使う。

AbaqusのS8R（厚板対応）は薄板から厚板まで安定して使えるが、極薄板（$t/a < 0.01$）では膜ロッキングに注意が必要だ。S8R5（薄板専用）がこのケースに適している。

板厚方向に最低2層の二次要素（C3D20R）が必要。1層だと曲げの線形応力分布を1つの積分点でしか評価できず精度が不足する。線形要素（C3D8）は板厚方向に4層以上必要で計算コストが跳ね上がる。C3D8Iの非適合モードが折衷案として有効だ。

中心から放射状のマッピングメッシュが理想だが、中心点で要素が縮退する問題がある。対処法は2つ。

1. 中心に三角形/ウェッジ要素を配置: 中心で1点に集約し、周囲を四角形で展開する（スパイダーウェブ）

2. 中心をずらす: O-grid型のメッシュで中心を正方形に変換。中心の特異的な縮退を回避できる

固定端近傍は曲げモーメント勾配が大きいから、2〜3要素分のメッシュ密度を上げる。

STRI65（6節点三角形）やS6（二次三角形）なら実用精度が出る。ただし四角形シェルに比べて収束が遅いから、同等精度に1.5〜2倍の要素数が必要になる。自動メッシュの利便性と計算コストのトレードオフだ。

Abaqus: S8Rが定番。SHELL SECTION で板厚を定義、DSLOAD で等分布荷重、固定端は *BOUNDARY, ENCASTRE。

Nastran: CQUAD8シェル + PSHELL で板厚と材料を定義。PLOAD2 で面圧荷重。SPC1 で固定拘束。

Ansys: SHELL281（8節点シェル）。SECTYPE,1,SHELL で断面定義、SFE で面圧荷重。

CalculiX: SHELL SECTION（S8相当）。Abaqus互換入力。荷重は DLOAD で面圧。

AbaqusのS8RはReissner-Mindlin（せん断変形考慮）がデフォルト。薄板極限ではKirchhoff理論に漸近する。NastranのCQUAD8も同様。ソルバーが自動で切り替えるわけではなく、要素定式化自体が厚板理論に基づいており、薄板では自然にKirchhoff的な挙動になる。