Lanczos法による固有値解析 — 実践ガイドとベストプラクティス

大部分の設定はソルバーのデフォルトで問題ない。注意すべきは特殊なケースだ。

剛体モードの固有値はゼロだが、数値的には完全にゼロにならない（$10^{-6}$ Hz程度）。Lanczos法はゼロ付近の固有値の抽出に問題なく対応する。

注意点：

• 6つの剛体モード（並進3＋回転3）を確認
• 7個以上のゼロモードがあればメカニズム（構造の分離）
• 剛体モードを含めてモード数をカウント

主なメモリ消費：

• $[K]$ のLDLT分解のワークスペース — 最大の消費源
• Lanczosベクトルの格納 — $n \times m$ の行列（$n$ = DOF数、$m$ = ベクトル数）

メモリ不足の対策：

• Out-of-core — ディスクに書き出してメモリを節約
• AMLS — サブストラクチャで分割してメモリを分散
• モード数を減らす — 必要最小限のモード数にする

稀だが起きることがある：

1. Lanczosベクトル数を増やす — デフォルトの2倍→3倍

2. シフト値を設定 — ゼロ付近のメカニズムを避ける

3. サブスペース反復法に切り替え — Lanczosより安定（ただし遅い）

4. モデルの確認 — メカニズム、特異な剛性がないか

• [ ] 求めるモード数は十分か（有効質量90%カバー）
• [ ] 剛体モードの数が正しいか（自由境界で6個）
• [ ] 固有振動数が理論解と桁で整合するか
• [ ] メモリが十分か（Out-of-coreの利用を検討）
• [ ] 密集固有値がある場合、Block Lanczosを検討したか

そう。Lanczos法は「設定より結果の解釈」に時間を使うべきアルゴリズムだ。