ペナルティ法による接触定式化 — 理論と支配方程式

接触問題は本質的に非線形だ。3つの理由がある：

1. 状態の変化 — 接触面が「接触/非接触」の二値。荷重で状態が変わる

2. 不等式拘束 — 貫通（penetration）が起きてはいけない：$g \geq 0$

3. 摩擦 — Coulomb摩擦は「固着/すべり」の状態変化を含む

通常のFEMは $[K]\{u\} = \{F\}$ の等式を解くが、接触は「$g \geq 0$ かつ $g \cdot p = 0$」というKKT条件（Karush-Kuhn-Tucker条件）を満たす必要がある。$g$ はギャップ、$p$ は接触圧。

ペナルティ法は最もシンプルな接触処理手法。「貫通に比例する反力」を加える：

$k_p$ がペナルティ剛性（接触剛性）。$g_n$ が法線方向の貫通量。

まさにそう。ペナルティ法は接触面に非常に硬いバネを配置する。貫通が起きると反力が発生し、貫通を押し戻す。

ペナルティ剛性 $k_p$ の設定が結果を左右する：

• $k_p$ が大きすぎる → 条件数が悪化。収束困難
• $k_p$ が小さすぎる → 貫通量が過大。不正確

目安：$k_p \approx 10 \sim 100 \times E \cdot A / L$（接触面の剛性のオーダー）。多くのソルバーは自動計算。

大部分のケースではそう。AbaqusやAnsysの自動ペナルティ剛性は良い出発点。問題が起きたときだけ手動調整する。

$k_p$ が有限である限り、微小な貫通は避けられない。貫通量が板厚の1%以下なら実用上問題ない。それ以上ならLagrange multiplier法を検討する。

要点：

• 接触は不等式拘束の非線形問題 — 状態変化＋摩擦
• ペナルティ法 = 接触面にバネ — $F = k_p \cdot g_n$
• $k_p$ の設定が鍵 — 大きすぎると収束困難、小さすぎると貫通過大
• 多くのソルバーが自動計算 — 手動調整は問題時のみ
• 貫通は完全ゼロにならない — 板厚の1%以下を目標