CMS法（Component Mode Synthesis） — 理論と支配方程式
CMS法とは
先生、CMS法って何ですか？
CMS（Component Mode Synthesis）は、大規模構造をサブストラクチャ（コンポーネント）に分割し、各コンポーネントの動的特性をモード座標で縮約してから全体を組み立てる手法だ。
「分割して縮約して組み立てる」？
例えば自動車の全車モデル（数百万DOF）を直接解くと膨大な計算になる。CMS法では：
1. ボディ、エンジン、サスペンション等をサブストラクチャに分割
2. 各サブストラクチャを固有モード＋拘束モードで縮約（数百DOFに）
3. 縮約されたサブストラクチャを結合して全体を解く
数百万DOFが数千DOFに縮約される！
計算時間が1/100以下になることもある。特に多数のサブストラクチャを繰り返し使う場合（車体の異なるバリエーション等）に効果的。
Craig-Bampton法
最も広く使われるCMS法はCraig-Bampton法（1968年）。各サブストラクチャを：
- 固定界面固有モード — 界面を固定した状態の内部の固有モード
- 拘束モード — 界面DOFを1つずつ単位変位させたときの静的変形
の2種類のモードで表現する。
固有モードで内部の振動を、拘束モードで界面の変形を表現するんですね。
各サブストラクチャの変位：
$\{q\}$ はモード座標（数十〜数百）、$\{u_b\}$ は界面DOF。全体のDOFは $\sum (n_{modes} + n_{boundary})$ に縮約。
CMS法の利点
| 利点 | 説明 |
|---|---|
| 計算時間の大幅削減 | 全体DOFを1/10〜1/1000に縮約 |
| 並列化 | 各サブストラクチャを独立に計算 |
| 設計変更の効率化 | 1つのサブストラクチャを変更しても、他は再計算不要 |
| 知的財産の保護 | サプライヤーが縮約モデルだけを提供。内部構造を開示しない |
知財保護に使えるのは面白いですね。
自動車のサプライチェーンでは、サスペンションメーカーがCMS縮約モデルをOEMに提供する。OEMは内部構造を見ずに全車の振動解析ができる。
まとめ
CMS法を整理します。
要点：
- 大規模構造をサブストラクチャに分割して縮約 — DOFを1/10〜1/1000に
- Craig-Bampton法が標準 — 固有モード＋拘束モード
- 計算時間の大幅削減 — 全車NVH解析で不可欠
- 設計変更に柔軟 — サブストラクチャ単位で変更可能
- 知財保護 — 内部構造を開示せずに縮約モデルを共有
タイタニック号と安全率の教訓
「不沈」と謳われたタイタニック号は、低温でのリベット材の脆性破壊が沈没の一因とされています。現代の破壊力学CAEでは、温度依存の材料特性と応力拡大係数を計算して「その温度で本当に大丈夫か？」を事前に検証できます。技術の進歩は、過去の悲劇から学んだ結果です。
各項の物理的意味
- 慣性項（質量項）：$\rho \ddot{u}$、つまり「質量×加速度」。急ブレーキで体が前に投げ出された経験はありませんか？ あの「持っていかれる感じ」がまさに慣性力です。重い物体ほど動き出しにくく、動き出したら止まりにくい。地震で建物が揺れるのも、地面が急に動いたのに建物の質量が「置いていかれる」から。静解析ではこの項をゼロにしますが、それは「ゆっくり力をかけるから加速度は無視できる」という仮定です。衝撃荷重や振動問題では絶対に省略できません。
- 剛性項（弾性復元力）：$Ku$ や $\nabla \cdot \sigma$。ばねを引っ張ると「戻ろうとする力」を感じますよね？ あれがフックの法則 $F=kx$ であり、剛性項の本質です。では質問——鉄の棒とゴム紐、同じ力で引っ張るとどちらが伸びるでしょうか？ 当然ゴムです。この「伸びにくさ」がヤング率 $E$ であり、剛性を決めます。よくある勘違い：「剛性が高い＝強い」ではありません。剛性は「変形しにくさ」、強度は「壊れにくさ」で、別の概念です。
- 外力項（荷重項）：体積力 $f_b$（重力など）と表面力 $f_s$（圧力、接触力など）。こう考えてみてください——橋の上のトラックの重さは「中身全体にかかる力」（体積力）、タイヤが路面を押す力は「表面だけにかかる力」（表面力）。風圧、水圧、ボルトの締付力…すべて外力です。ここでありがちな失敗：荷重の方向を間違える。「引張」のつもりが「圧縮」になっていた——笑い話に聞こえますが、3D空間で座標系が回転していると実際に起こります。
- 減衰項：レイリー減衰 $C\dot{u} = (\alpha M + \beta K)\dot{u}$。ギターの弦を弾いてみてください。音は鳴り続けますか？ いいえ、徐々に小さくなりますよね。振動エネルギーが空気抵抗や弦の内部摩擦で熱に変わるからです。車のショックアブソーバーも同じ原理——わざと振動エネルギーを吸収して乗り心地を良くしています。もし減衰がゼロだったら？ 建物は地震の後いつまでも揺れ続けることになります。実際にはそうならないので、適切な減衰の設定が重要です。
仮定条件と適用限界
次元解析と単位系
| 変数 | SI単位 | 注意点・換算メモ |
|---|---|---|
| 変位 $u$ | m（メートル） | mm入力時は荷重・弾性率もMPa/N系に統一すること |
| 応力 $\sigma$ | Pa（パスカル）= N/m² | MPa = 10⁶ Pa。降伏応力との比較時に単位系の不一致に注意 |
| 歪み $\varepsilon$ | 無次元（m/m） | 工学歪みと対数歪みの区別に注意（大変形時） |
| 弾性率 $E$ | Pa | 鋼: 約210 GPa、アルミ: 約70 GPa。温度依存性に注意 |
| 密度 $\rho$ | kg/m³ | mm系ではtonne/mm³（= 10⁻⁹ tonne/mm³ for 鋼） |
| 力 $F$ | N（ニュートン） | mm系ではN、m系ではNで統一 |
数値例：片持ち梁の先端荷重（L=1m, 断面50×100mm, 鋼材E=210GPa, P=1kN）
最大たわみ δ = PL³/(3EI) = 1000×1000³/(3×210000×4,166,667) ≈ 0.381 mm 最大応力 σ = PL×(h/2)/I ≈ 12.0 MPa（降伏応力235MPaに対して安全率19.6）
メッシュ密度を変えた収束性の確認：
ポイント：要素数を4倍にしても結果は0.5%しか変わらない→8,000要素で十分収束。これが「メッシュ収束性」の確認です。
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