中央差分法（陽解法） — 理論と支配方程式

陰解法は各時間ステップで連立方程式を解く（平衡反復あり）。陽解法は連立方程式を解かずに、質量マトリクスの逆行列（対角なら逆数）だけで次の時刻の変位を直接計算する。

1ステップあたりの計算は桁違いに速い。ただし安定条件があり、時間刻みが非常に小さい（$\Delta t \propto L_{min} / c$、$c$ は音速）。衝撃のような短時間現象に最適。

運動方程式 $[M]\{\ddot{u}\} = \{F\} - [K]\{u\} - [C]\{\dot{u}\}$ に対して：

1. 加速度の計算: $\{\ddot{u}_n\} = [M]^{-1}(\{F_n\} - \{F_{int,n}\})$

2. 速度の更新: $\{\dot{u}_{n+1/2}\} = \{\dot{u}_{n-1/2}\} + \Delta t_n \{\ddot{u}_n\}$

3. 変位の更新: $\{u_{n+1}\} = \{u_n\} + \Delta t_{n+1/2} \{\dot{u}_{n+1/2}\}$

だから陽解法では集中質量マトリクス（対角）が必須。一貫質量（非対角）を使うと逆行列の計算にコストがかかり、陽解法の利点が失われる。

陽解法の安定時間増分：

$L_{min}$ は最小要素サイズ、$c$ は材料の音速（弾性波速度）。

だから1秒間の解析に100万ステップ以上必要。衝撃（数ms）なら数千ステップで済むが、準静的（数秒）だと膨大。陽解法は短時間の動的現象に適する。

陽解法では接触の検出と力の計算が各ステップで独立に行われ、収束問題がない。車の衝突のように多数の接触が同時に起きる問題では陽解法が圧倒的に有利。

要点：

• 連立方程式を解かない — $[M]^{-1}$ が対角なら逆数だけ
• $\Delta t \leq L_{min} / c$ — CFL条件。最小要素で決まる
• 短時間の動的現象に最適 — 衝撃、爆発、衝突
• 接触が容易 — 収束問題なし
• 集中質量マトリクスが必須 — 対角行列でないと速くならない

LS-DYNAの全解析が陽解法。Abaqus/Explicitも陽解法。自動車の衝突安全はこの手法なしには成り立たない。